Demostrar que $f$ es una función constante

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función. Supongamos:

$$\left|\sum_{k=1}^{n}3^k(f(x+ky)-f(x-ky))\right|\leqslant 1\quad\forall n\in\mathbb{N}\quad\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Demostrar que $f$ es una función constante.

Ni siquiera sé por dónde empezar y cuál es el posible enfoque. ¿Algún consejo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\left|a_{n}\right| \leq \left|\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right| + \left|\sum_{k=1}^{n}a_k\right|$ . De ello se desprende que, $\forall n\in \mathbb N$ y $\forall x,y\in \mathbb R$ ,

$$ \left| 3^n \bigl( f(x+ny) - f(x-ny) \bigr) \right| \leq 2 $$

Dividiendo por $3^n$ y el ajuste $y=x/n$ da

$$ \forall n\in \mathbb N, \quad \bigl| f(2x) - f(0) \bigr| \leq \frac2{3^n} $$

En el límite como $n\to \infty$ concluimos que para cada $x\in \mathbb R$ , $f(2x) = f(0)$ .