Mostrar que existe la integral de Riemann-Stieltjes

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema:

Deje $c\in(a,b)$ e $$f(x)=\begin{cases} 0 & a\leq x\leq c\\ 1 & c<x\leq b \end{casos}$$ $$\alpha (x)=\begin{cases} 0 & a\leq x< c\\ 1 & c\leq x\leq b \end{casos}$$

Mostrar que $f\in R(\alpha)$

Por desgracia, lo que me parece estar demostrando es que $f\notin R(\alpha)$. Mi estrategia fue demostrar que, dado epsilon, podemos encontrar una partición de $P_\epsilon $ tal que la diferencia entre la parte superior e inferior de las sumas es menos de $\epsilon$.

Así que empieza por la observación de que para algunos $k$, $c\in[x_{k-1},x_k]$. Deje $M_i=\sup_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$$m_i=\inf_{x\in [x_{i-1},x_i]}f(x)$. Fix $\epsilon>0$. Entonces

$$U\left(P,f,\alpha\right)-L\left(P,f,\alpha\right) = \sum_{i=1}^{N}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left[\alpha\left(x_{i}\right)-\alpha\left(x_{i-1}\right)\right] = \sum_{i=1}^{k-1}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left[\alpha\left(x_{i}\right)-\alpha\left(x_{i-1}\right)\right]+\left(M_{k}-m_{k}\right)\left[\alpha\left(x_{k}\right)-\alpha\left(x_{k-1}\right)\right]+\sum_{i=k+1}^{N}\left(M_{i}-m_{i}\right)\left[\alpha\left(x_{i}\right)-\alpha\left(x_{i-1}\right)\right] = (0-0)(0-0)+(1-0)(1-0)+(1-1)(1-1) = 1 $$

Y que yo sepa, 1 no es menor que $\epsilon$ para valores de $\epsilon$. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

De hecho, deberían querer $c$ en su partición. Así que deje que $P = \{a = x_0 < x_1 < \ldots < x_k = c < \ldots < x_n = b\}$ ser una partición. Luego, dejar $M_i = \sup_{x\in[x_{i-1}, x_i]} f(x)$ y $m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x),$ tenemos:

$\begin{align*} U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) &= \sum_{i=1}^{n} (M_i - m_i)[\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})]\\ &= \sum_{i=1}^{k} (M_i - m_i)[\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})] + \sum_{i=k+1}^{n} (M_i - m_i)[\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})]\\ &= \sum_{i=1}^{k} (0-0)[\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})] + \sum_{i=k+1}^{n} (M_i - m_i)[1-1]=0 < \epsilon \end{align*} $ para cualquier $\epsilon.$, $f \in \mathscr{R}(\alpha).$