¿Es el límite de un $L^2$ -¿Secuencia convergente de variables aleatorias única hasta a.e.?

Question

¿Es el límite de un $L^2$ -¿Secuencia convergente de variables aleatorias única hasta a.e.? En otras palabras, si $X$ y $Y$ son ambos límites, se $X=Y$ a.e.? En caso afirmativo, es Ito integral, que se define como $L^2$ ¿límite de una secuencia de integrales Ito de procesos simples, definida sólo hasta a.e.?

A la inversa, si la secuencia converge a una variable aleatoria $X$ y $Y$ es otra variable aleatoria igual que $X$ a.e., se $Y$ sea también el límite de la $L^2$ -¿Secuencia convergente?

Preguntas similares para una secuencia de variables aleatorias que convergen en probabilidad.

Gracias de antemano.

Answer 1

Una pista: $\|X-Y\|_2\leqslant\|X_n-X\|_2+\|X_n-Y\|_2$ . Y algunas variables aleatorias $X$ y $Y$ tal que $\|X-Y\|_2=0$ son tales que...

Aplicación: Si $X_n\to X$ en $L^2$ y $X_n\to Y$ en $L^2$ entonces $\|X_n-X\|_2+\|X_n-Y\|_2\to0$ por lo que $\|X-Y\|_2=0$ . Para cada positivo $u$ , $$(X-Y)^2\geqslant u^2\cdot[|X-Y|\geqslant u],$$ por lo que $$\|X-Y\|_2^2\geqslant u^2\cdot\mathrm P(|X-Y|\geqslant u).$$ Si $\|X-Y\|_2=0$ Esto demuestra que $\mathrm P(|X-Y|\geqslant u)=0$ por cada positivo $u$ . Es decir, $\mathrm P(|X-Y|\gt0)=0$ lo que equivale a $X=Y$ casi seguro.

Se puede adaptar esta prueba a la convergencia en probabilidad. Para toda probabilidad positiva $u$ , $$[|X-Y|\geqslant2u]\subseteq[|X_n-X|\geqslant u]\cup[|X_n-Y|\geqslant u],$$ por lo que $$\mathrm P(|X-Y|\geqslant2u)\leqslant\mathrm P(|X_n-X|\geqslant u)+\mathrm P(|X_n-Y|\geqslant u).$$ Tal vez puedas continuar...

Editar Recordemos que los límites casi seguros, en $L^p$ y en la probabilidad sólo se definen de forma casi segura, es decir, si $X_n\to X$ en cualquiera de estas tres acepciones y si $X=Y$ casi seguramente, entonces $X_n\to Y$ también. Si $X_n\to X$ en $L^2$ por ejemplo, utilice $\|X_n-Y\|_2\leqslant\|X_n-X\|_2+\|X-Y\|_2$ y el hecho de que $\|X-Y\|_2=0$ si (y sólo si) $X=Y$ casi seguro. Así, $\|X_n-Y\|_2\leqslant\|X_n-X\|_2$ y $\|X_n-X\|_2\to0$ lo que implica que $\|X_n-Y\|_2\to0$ .