Una función medible con $\int f^n$ limitado o convergente como $n \to \infty$

Question

(1) Mostrar que, si $f^n$ es integrable para todos los enteros $n\ge 1$ y $\limsup_{n\to \infty} \int f^n<\infty$ $|f|\le1$ en casi todas partes.

(2) Muestran que, si $f^n$ es integrable para todos los enteros $n\ge 1$$\int f^n d\mu = c$, para cada $n\in\mathbb N$ $ \Leftrightarrow f=\mathbb{1}_{A} $ una.e. para algunos $A\subseteq X$$\mu(A)=c$. (Esta es la versión editada, creo que aquí no es necesariamente $|f|\le 1\ a.e$)

Prueba(1):

Suponga que no ( $|f|\le 1$ no en casi todas partes)

Desde $||f||_{\infty}=\inf\{M:|f(x)|\le M\quad \text{for } \mu \text{-almost everywhere } x\in X\}$

$\Rightarrow ||f||_{\infty}>1$ $||f||_{\infty}^{\infty}=\infty$ lo cual es una contradicción.

Es correcto esto?

Answer 1

(1) asumir que $|f|\leqslant 1$ no mantiene en casi todas partes. Entonces hay $k\geqslant 1$ tal que $\mu(A)\gt 0$, $A:=\{|f|\geqslant 1+k^{-1}\}$. Así tenemos %#% $ #% que contradice el aspecto finito de $$\int_X|f|^n\mathrm d\mu\geqslant \int_A|f|^n\mathrm d\mu\geqslant \mu(A)(1+k^{-1})^n,$.

(2) una dirección es fácil. Para el otro, tenemos que demostrar que $\sup_n\int_X|f|^n\mathrm d\mu$ casi en todas partes. Gracias a la primera parte, es suficiente para mostrar que $f\in \{0,1\}$. Para ello, definir $\mu\{0\lt f\lt 1\}=0$.