El conjunto de puntos límite de la secuencia $1,\frac12,\frac14,\frac34,\frac18,\frac38,\frac58,\frac78,\frac1{16},\frac3{16},\ldots$

Question

Me encontré con el siguiente problema que dice:

¿El conjunto de puntos límite de la secuencia $1,\dfrac12,\dfrac14,\dfrac34,\dfrac18,\dfrac38,\dfrac58,\dfrac78,\dfrac1{16},\dfrac3{16},\dfrac5{16},\dfrac7{16},\dfrac9{16},\ldots$ es cuál de las siguientes?
(a) $[0,1]$
(b) $(0,1]$
(c) el conjunto de todos números racionales en $[0,1]$
(d) el conjunto de todos números racionales en $[0,1]$ y de la forma $m/2^n$ donde $m$ y $n$
son números enteros.

Por favor ayuda. Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

La secuencia dada es un listado de todos los números racionales en $[0,1]$ de la forma $\frac{m}{2^n}$ % enteros $m>0$y $n\geq 0$. Este conjunto de racionales resulta para ser densa en $[0,1]$, así que si de"límite" significa "puntos tener infinitamente muchos términos de la secuencia en cada barrio aroud ellos", entonces la respuesta es $[0,1]$.

Answer 2

Sugerencia: Tener en cuenta los 8 primeros términos (reordenados): $$\frac{1}{8}, \frac{2}{8}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}, \frac{8}{8}$ $

Este patrón continúa a medida que el denominador crece a lo largo de la secuencia.