Sé que un % de #%-módulo finitamente generado $R$ #% sobre un anillo noetheriano del $M$ es noetheriano. Me pregunto sobre lo contrario. Creo que tiene que ser falso y estoy en busca de contraejemplos.
¿También me pregunto si $R$ noetheriano implica que $M$ es noetheriano es cierto? ¿Y si $R$ noetheriano implica $M$ finitamente generados es cierto?
¿Es decir, hacer implicaciones fail o solamente uno de ellos?
Supongo que $R$ es conmutativa en su pregunta. Como otras respuestas ya han señalado, la respuesta a tu pregunta es falsa por razones triviales. Pero aquí está estrechamente relacionada con la declaración de que es cierto. (Se basa en el hecho de que una suma directa de dos Noetherian módulos es de nuevo Noetherian; dejo esto para que usted investigue, pero siéntase libre de dejar un comentario si desea obtener más información.)
Teorema: Si un anillo de $R$ tiene un fiel Noetherian módulo de $M$, $R$ es Noetherian.
Prueba: Debido a $M$ es Noetherian, es finitely generado. Decir $M = \sum Rm_i$ para algunos finito electrógenos $m_1, \dots, m_n$. Considerar la homomorphism $f \colon R \to M^n$$f(r) = (rm_1, \dots, rm_n)$. Este es inyectiva porque el destructor de $M$ es trivial: si $f(r) = 0$ $rm_i = 0$ todos los $i$, de donde $rM = r \sum Rm_i = \sum Rrm_i = 0$. Por lo tanto $R$ es isomorfo como un $R$-módulo a un submódulo de la Noetherian módulo de $M^n$. De ello se desprende que $R$ es Noetherian.
Corolario: Si $M$ es un Noetherian $R$-módulo, a continuación, $R/\mathrm{ann}(M)$ es Noetherian.
Lo que sucede por no conmutativa anillos? Los resultados anteriores ya no espera. Un anillo puede tener un fiel simple (de ahí Noetherian) a la izquierda del módulo pero no para ser de izquierda o de derecha Noetherian. Por ejemplo, supongamos $V$ ser un infinito dimensional espacio vectorial sobre un campo $k$, y deje $R = \mathrm{End}_k(V)$ ser el anillo de $k$-lineal endomorphisms de $V$. A continuación, $V$ es un simple izquierda $R$-módulo, pero se puede demostrar que $R$ no es ni de izquierda ni de derecha Noetherian.
No está claro para mí exactamente lo que están pidiendo en la cuestión principal. Si se están preguntando:
$\bullet$ Si es un anillo de $R$ admite un Noetherian módulo, debe $R$ ser Noetherian?
Entonces esto es trivialmente falso: Alex Youcis y Thomas Andrews han mostrado que cada anillo conmutativo admite Noetherian módulos. (Como regla general, si usted está buscando un contraejemplo a una afirmación acerca de los módulos y usted no ha comprobado el cero módulo, usted no ha visto lo suficientemente duro. También busca en los módulos de la forma $R/I$ es algo para probar el principio.)
Si usted está pidiendo
$\bullet$ Si de un anillo de $R$ cada finitely generadas $R$-módulo es Noetherian, debe $R$ ser Noetherian?
Entonces esto es trivialmente cierto, como $R$ es un finitely generadas $R$-módulo.
Menos trivial de la declaración es la siguiente:
Lema (Kaplansky): Un anillo es Noetherian iff se admite un fiel Noetherian módulo.
Otro resultado vagamente a lo largo de estas líneas es:
Teorema (Eakin-Nagata) Deje $R \subset S$ ser un anillo de extensión tal que $S$ es finitely genera como una $R$-módulo. A continuación, $R$ es Noetherian iff $S$ es Noetherian.
Las pruebas de estos y otros resultados que son (aún más) vagamente relacionado con tu pregunta se puede encontrar en $\S 8.8$ de mi álgebra conmutativa notas.
Deje $R$ ser un conmutativa no Noetherian y deje $\mathcal m$ ser un ideal maximal. A continuación, $R/\mathcal m$ es finitely generado y Noetherian - sólo tiene dos sub-$R$-módulos.
Tenga en cuenta que, incluso si $R$ no Noetherian, contiene un ideal maximal, por Krull del Teorema.
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