Cauchy fue el primero en proporcionar una clara definición de la integral de una función continua esencialmente como damos hoy en día, como un límite de sumas.

Question

Supongamos que tenemos una función continua $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Supongamos también que para un cierto punto $c$ $\lim_{x \to c} f'(x)$ existe. ¿Debe $f'(c)$ existir así y ser iguales a este límite?

Esto no es lo mismo que pedir si derivados siempre son continuos. La conocida función $f(x) = x^2 \sin (1/x)$ es continua y diferenciable en todas partes, pero su derivado no tiene límite en $x = 0$. Me pregunto si la derivada de una función continua puede tener una discontinuidad en su límite hace existir.

Answer 1

Si $\lim_{x\to c}f'(x)=L$, entonces $f'(c)$ existe y es igual a $L$. De hecho, usando el teorema del valor medio tenemos $$ \frac{f(c+h)-f(c)}h=f'(\xi(h)) $$ $\xi(h)$ entre $c$y $c+h$. $h\to0$, $c+h\to c$% Y tan $\xi(h)\to c$. Así que $$ \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}h=\lim_{h\to0}f'(\xi(h)) = L. $$