Notación de mecánica cuántica para BRA KET

Question

Me han puesto este problema de deberes, pero no entiendo su notación.

Realice lo siguiente donde las funciones de onda son las funciones propias normalizadas del Hamiltoniano del oscilador armónico.

i) Calcular $\langle x\rangle, \langle p \rangle, \langle x^2\rangle$ y $\langle p^2\rangle $ para $| 0 \rangle, |1 \rangle$ y $|12\rangle$ .

ii) Calcular $\langle T \rangle$ para $n = 1$ y también calcular $\langle V(x) \rangle$ donde, la energía potencial $V(x) = \frac{m w^2 x^2}{2} $ . ¿Coinciden estos valores de expectativa con lo que usted esperaría?

No entiendo la notación BRA-KET.

Para n = 1:

$\int \Psi_1^* (x) x^3 \Psi_1(x) dx$ - ¿Cómo se puede "evaluar" esto, sin una función para $\Psi_1$ ?

para $|1\rangle$ que estoy haciendo:

$\langle1|x|1\rangle, \langle 1|x^2|1\rangle , \langle 1|p|1\rangle, \langle 1|p^2|1\rangle$

En cuyo caso no sé cómo proceder a partir de esa forma ? ¿Y dónde entra en juego que la función de onda sea la función propia normalizada del hamiltoniano del oscilador armónico?

para ii) ¿Es correcto suponer que la "expectativa" es que $\langle T\rangle + \langle V \rangle = \langle H \rangle$ ?

Answer 1

Un error común cuando los estudiantes comienzan el estudio del oscilador armónico cuántico es tratar de convertir todo en integrales. La cuestión es que, en la mayoría de los planes de estudio, el QHO se utiliza también como una forma de familiarizarte secretamente con la notación bra-ket, y todas las comodidades que ofrece. En realidad, aquí no deberías necesitar ninguna integral.

$\lvert n \rangle$ es un vector en un espacio vectorial abstracto. Si quieres expresarlo en términos de la base de posición, puedes hacerlo: $\psi_n(x) \equiv \langle x \vert n \rangle$ . Sin embargo, esto no es siempre lo que se quiere hacer. Lo que realmente quieres son productos internos entre la versión del sujetador de tu vector, $\langle n \rvert$ y la versión ket, $\lvert n \rangle$ , tal vez ponderado por la aplicación de un operador allí. Es decir, se buscan cosas como $\langle n \vert \hat{\Omega} \vert n \rangle$ , donde $\hat{\Omega}$ es un sustituto de algún operador, como $\hat{X}$ o $\hat{P}$ . Nosotros podría evaluar esto en la base de posición (al igual que cualquier producto interno puede ser evaluado poniendo los vectores fila y columna en la misma base y haciendo un producto punto): \begin{align} \langle n \vert \hat{\Omega} \vert n \rangle & = \int \lvert x \rangle \langle x \rvert \langle n \vert \hat{\Omega} \vert n \rangle \\ & = \int \langle n \vert x \rangle \langle x \vert \hat{\Omega} n \rangle \\ & = \int \langle x \vert n \rangle^* \langle x \vert \hat{\Omega} n \rangle \\ & = \int \psi_n(x)^* \Omega[\psi_n](x) \ \mathrm{d}x, \end{align} donde $\Omega$ es el funcional correspondiente al operador $\hat{\Omega}$ Por ejemplo $X[f](x) = x f(x)$ y $P[f](x) = -\mathrm{i} \hbar f'(x)$ .

Pero tú no quieres hacer eso.

El truco con el QHO es que hay dos operadores muy convenientes que definimos: $\hat{a}$ y $\hat{a}^\dagger$ y tienen propiedades como $\hat{a} \lvert n \rangle = \sqrt{n} \ \lvert n-1 \rangle$ y $\hat{a}^\dagger \lvert n \rangle = \sqrt{n+1} \ \lvert n+1 \rangle$ .

Puedes escribir $\hat{X}$ y $\hat{P}$ en términos de $\hat{a}$ y $\hat{a}^\dagger$ . A continuación, utilice las propiedades de linealidad (de productos internos/integrales) y ortogonalidad y normalización (de sus estados $\lvert n \rangle$ ). Como ejemplo, supongamos que queremos calcular $\langle n \vert \hat{a}^2 + \hat{a}^\dagger \vert m \rangle$ . Usted tiene \begin{align} \langle n \vert \hat{a}^2 + \hat{a}^\dagger \vert m \rangle & = \langle n \vert \hat{a}^2 \vert m \rangle + \langle n \vert \hat{a}^\dagger \vert m \rangle \\ & = \sqrt{m} \ \langle n \vert \hat{a} \vert (m-1) \rangle + \sqrt{m+1} \ \langle n \vert (m+1) \rangle \\ & = \sqrt{m(m-1)} \ \langle n \vert (m-2) \rangle + \sqrt{m+1} \ \langle n \vert (m+1) \rangle \\ & = \sqrt{m(m-1)} \ \delta_{n,m-2} + \sqrt{m+1} \ \delta_{n,m+1}. \end{align} Como se puede ver, introduciendo valores particulares de $n$ y $m$ hará que algunos (o todos) los términos desaparezcan, dejando respuestas simples.

Qué usted tiene que hacer es averiguar $\hat{X}$ y $\hat{P}$ en términos de $\hat{a}$ y $\hat{a}^\dagger$ (las expresiones son bastante sencillas). Entonces, cuando se le pida una expectativa de, digamos $\hat{X}$ con respecto a $\lvert 1 \rangle$ simplemente hay que calcular $$ \langle \hat{X} \rangle_{\lvert 1 \rangle} \equiv \langle 1 \vert \hat{X} \vert 1 \rangle = \langle 1 \vert \text{stuff with annihilation/creation operators} \vert 1 \rangle. $$

Para $\hat{T}$ y $\hat{V}$ Sólo hay que utilizar las expresiones clásicas de la energía cinética y potencial en términos de $x$ y $p$ y cambiar $x \to \hat{X}$ , $p \to \hat{P}$ . Para $\hat{H}$ , pido a cambio: Clásicamente lo que es $H$ en términos de $T$ y $V$ ?

Answer 2

Sobre i)

La notación $|n\rangle$ se debe a la naturaleza discreta del espectro del hamiltoniano mecánico cuántico para un oscilador armónico. En términos de los operadores de escalera $a,a^{\dagger}$ puede definir el operador numérico $N=a^{\dagger}a$ y denotar sus funciones propias como $|n\rangle$ para que $N|n\rangle=n|n\rangle$ . Puede encontrar que la forma particular de aquellos es [*] $^1$

$$\phi_{n}(x)= \frac{1}{\sqrt{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{ - \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad n = 0,1,2,\ldots$$

donde $H_{n}(x)$ es el enésimo polinomio de Hermite. $^2$ Una pista interesante es que $\phi_{n}(x)$ es real y que la paridad de $H_{n}(x)$ es la paridad de $n$

También

$$ \langle 1|A|2\rangle=\int \phi^{*}_{1}(x) \left(A \phi_{2}(x)\right) dx\equiv \langle 1 |A2\rangle$$

Acerca de ii)

Lo que espera es $\langle T \rangle+\langle V \rangle =\langle H \rangle $ pero en realidad hay que hacer los cálculos

Referencias

[*] $^1$ http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator#Hamiltonian_and_energy_eigenstates

[*] $^2$ http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#Orthogonality

-Editar-

Cálculos parciales para 1

$$\langle 1|x|1 \rangle=\int \phi_{1}(x) x \phi_{1}dx=0 $$

porque el integrando es antisimétrico en $x$ (los tres factores son antisimétricos en $x$ ) y la integral de una función antisimétrica de $x$ sobre y el intervalo simétrico es cero. Prueba

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^0f(x)dx+\int^{\infty}_{0}f(x)dx. $$

Set $u=-x$ en la primera integral, y utilizar $f(x)=-f(-x)=-f(u)$ , $du=-dx$ para que

$$\int_{\infty}^{0}f(u)du+\int^{\infty}_{0}f(x)dx=-\int_{0}^{\infty}f(u)du+\int^{\infty}_{0}f(x)dx=0$$

$$ \langle 1|x^2|1\rangle =\int \phi_{1}(x)x^2\phi_{1}(x)dx=\int \frac{1}{2}\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar} \right)^{1/2}e^{-\frac{m\omega^2x^2}{\hbar}}\frac{m\omega}{h}x^4dx$$

Utilice

$$\int_{0}^{\infty}x^4e^{-a^2x^2}=\frac{3\sqrt{\pi}}{8a^5} $$

¿Y el impulso?

$$\langle 1|p|1\rangle=\int \phi_{1}(x)\left(-i\hbar \frac{d}{dx}\right)\phi_{1}(x) $$

$$\frac{d\phi_{1}}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}e^{-\frac{m\omega^2x^2}{2\hbar^2}} \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}x}\right)=... $$

Espero que pueda continuar desde aquí