Lo siento si esto es demasiado obvio pero no puedo ver lo que me estoy perdiendo. Si un elemento $b \in B$ es la raíz de un polinomio $f \in A[X]$ Entonces $b$ es integral sobre $B$ .
$ \sqrt {2}$ es una raíz de $f(X) = X^2 -2$ entonces, ¿por qué el cierre integral de $ \mathbb {Z}$ en $ \mathbb {Q}$ igual a $ \mathbb {Z}$ ? Sé que debo estar malinterpretando una definición pero no puedo ver dónde, si alguien pudiera señalar lo que me estoy perdiendo sería genial.
Por definición, el anillo de números enteros de un campo es un subconjunto del campo. $ \sqrt 2$ satisface una ecuación integral sobre $ \Bbb Q$ seguro, pero no está en el campo. De hecho, se puede ver de esto que los elementos integrales de un campo son exactamente los que satisfacen integrales, lineal polinomios sobre el anillo entero del campo. (Ya que la iff lineal el término constante ya está en el campo).
Su pregunta y el título, en particular, no coinciden: el cierre integral y los elementos de un campo que son integrales no son la misma cosa, esa es una pregunta sólo para las cosas de las que se puede hablar de integralidad, ya que mientras $ \Bbb Z$ es el anillo de números enteros para $ \Bbb Q$ es no el cierre integral de $ \Bbb Q$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
