Probar que si $x^x=4$$x=2$.

Question

Tratando de demostrar que me miró a $x\ln x=2\ln 2$, y afirmó que, por tanto, $x=2$ ... fue sólo un poco de asunción, en una gran pregunta. Ahora veo que $x^x$ es una composición de inyecciones y por lo tanto es una inyección, y desde $2^2=4$, entonces no hay otro $x$ satisface. Soy relativamente correcta? Agradecería su ayuda.

Answer 1

La función de $x^x$ no está definido para $x\le 0$.

Es fácil mostrar que $x^x\le 1$$0<x\le 1$.

La derivada de $x^x$ $x^x(\ln x+1)$ cual es positivo para $x>1$.

Combinados, estos hechos dicen que si $x^x=4$$x>1$. La función es creciente en ese intervalo, por lo que no puede haber más de una solución. Por lo tanto, hay una solución en cualquier lugar, y $x=2$ es.

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Aquí es un método, el uso de la función W de Lambert, que puede ser fácilmente extendido para resolver la ecuación de $x^x=a$ únicamente para cualquier $a\ge 1$.

$$x^x=4$$ $$x\ln x=\ln 4$$ $$e^{\ln x}\ln x=\ln 4$$ $$\ln x=\operatorname{W}(\ln 4)$$ $$x=e^{\operatorname{W}(\ln 4)}$$

La función W de Lambert $\operatorname{W}(x)$ es de valor único para $x>0$, y, ciertamente,$\ln 4>0$. Por lo $x$ está bien definido y puede ser calculado por una variedad de software. Terminamos con el valor de $x=2$ en nuestro caso particular. Este método muestra que el valor de $x$ tiene más de una solución en $x^x=a$$a\ge 1$.

(La lista de software de hojas de la dmath paquete de Borland/Embarcadero Delphi, así como el Gráfico de la aplicación.)

Answer 2

Por definición, $z^w = e^{w \ln z}$. Set $e^{w \ln z} = 4$ con la condición de que $w = z$ y resolverlo.

$e^{x \ln x} = 4 \Rightarrow x = \frac{\ln 4}{\ln 2} \Rightarrow x = 2$.

Answer 3

Supongamos $x\gt y \gt 1$ $y^y\lt x^y\lt x^x$ $x\gt 1$ la función de $x^x$ está en aumento, y hay más de una solución, en este rango, la existencia de una solución no está en duda.

Si $0\lt x\lt 1$ tenemos $x^x\lt 1$$1^1=1$.

Answer 4

Sugerencia: Usted puede demostrar que $$f(x)=\frac{1}{\log_4(x)}$$ tiene un único punto fijo.