¿La función de cambio de variable tiene que ser inyectiva?

Question

Tenga en cuenta que aquí sólo me interesa el caso de una variable.

La fórmula de cambio de variables para la integración es:

$$\int^{\phi(b)}_{\phi(a)}f(x)\ \text{d}x= \int^b_a f(\phi(x))\phi'(x)\ \text{d}x $$

Dónde $\phi$ y $f$ son lo suficientemente agradables (supongo que $f$ tiene que ser integrable y creo que $\phi$ debe ser continuamente diferenciable).

Sin embargo, mi profesor de Análisis me dijo una vez que $\phi$ tiene que ser también inyectiva. Pero no encuentro ningún enunciado del teorema (en una variable) que incluya esta condición. Para mí tiene sentido que no sea necesaria: pensando en las sumas de Riemann, si $\phi$ es no monótona, entonces la subdivisión "retrocederá" en algún punto, pero como estamos multiplicando por la derivada, esos rectángulos serán negativos, por lo que es plausible que se cancelen de tal manera que no "contemos doble" esa área.

Answer 1

$\phi$ no tiene que ser monótona, pero $f$ debería ser continua (al menos entonces la prueba es más fácil).

Más concretamente, los supuestos son los siguientes:

$\phi : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable y $f : [c,d] \rightarrow \mathbb{R}$ es continua con $\phi([a,b]) \subset [c,d]$ .

Tenga en cuenta que esta última condición es automática si (!) $\phi$ es monótona y $f : [\phi(a), \phi(b)] \rightarrow \mathbb{R}$ .

Ahora defina $F : [c,d] \rightarrow \Bbb{R}, x \mapsto \int_c^x f(t) dt$ . Por el teorema fundamental del cálculo (y porque $f$ es continua), vemos que $F$ es diferenciable con la derivada $F' = f$ .

Ahora $$\frac{d}{dx}F(\phi(x)) = F'(\phi(x)) \cdot \phi'(x) = f(\phi(x)) \cdot \phi'(x).$$

Por el teorema fundamental del cálculo de nuevo, concluimos

$$\int_a^b f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = F(\phi(b)) - F(\phi(a)) = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) dx.$$

Por lo tanto, no necesitamos la monotonicidad de $\phi$ .

Obsérvese que obtenemos en particular que

$$\int_a^b f(\phi(x)) \phi'(x) dx = 0$$

si $\phi(a) = \phi(b)$ .