¿La función de cambio de variable tiene que ser inyectiva?

Question

Tenga en cuenta que aquí solo me interesa el caso de una sola variable.

La fórmula del cambio de variables para la integración es:

$$\int^{\phi(b)}_{\phi(a)}f(x)\ \text{d}x= \int^b_a f(\phi(x))\phi'(x)\ \text{d}x$$

Donde $\phi$ y $f$ son suficientemente agradables (supongo que $f$ tiene que ser integrable y creo que $\phi$ debe ser continuamente diferenciable).

Sin embargo, mi profesor de Análisis una vez me mencionó que $\phi$ también tiene que ser inyectivo. Pero no puedo encontrar ninguna declaración del teorema (en una variable) que incluya esta condición. Tiene sentido para mí que no sea necesario: pensando en sumas de Riemann, si $\phi$ no es monótono, entonces la subdivisión "retrocederá" en algún punto, pero dado que estamos multiplicando por la derivada, esos rectángulos serán negativos, por lo que es plausible que se cancelen de tal manera que no "duplicamos" esa área.

Answer 1

$\phi$ no tiene que ser monótona, pero $f$ debería ser continua (al menos entonces la demostración es más fácil).

Más precisamente, las suposiciones son las siguientes:

$\phi : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente derivable y $f : [c,d] \rightarrow \mathbb{R}$ es continua con $\phi([a,b]) \subset [c,d]$.

Nota que esta última condición es automática si(!) $\phi$ es monótona y $f : [\phi(a), \phi(b)] \rightarrow \mathbb{R}$.

Ahora define $F : [c,d] \rightarrow \Bbb{R}, x \mapsto \int_c^x f(t) dt$. Por el teorema fundamental del cálculo (y porque $f$ es continua), vemos que $F$ es derivable con derivada $F' = f$.

Ahora $$\frac{d}{dx}F(\phi(x)) = F'(\phi(x)) \cdot \phi'(x) = f(\phi(x)) \cdot \phi'(x).$$

Por el teorema fundamental del cálculo nuevamente, concluimos

$$\int_a^b f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = F(\phi(b)) - F(\phi(a)) = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) dx.$$

Por lo tanto no necesitamos la monoticidad de $\phi$.

Nota que obtenemos en particular que

$$\int_a^b f(\phi(x)) \phi'(x) dx = 0$$

si $\phi(a) = \phi(b)$.