¿Qué es $0^{i}$?

Question

$$\lim_{n\to 0} n^{i} = \lim_{n\to 0} e^{i\log(n)} $$ Sé que $0^{0}$ es generalmente definida, pero puede ser igual a uno en el contexto de un conjunto vacío de asignación a sí mismo sólo una vez. Me doy cuenta de que en los términos de la ecuación anterior, el límite no existe, pero puede $0^{i}$ interpretarse en el sentido de asignar un valor? Para los curiosos, me encontré en esta tratando de calcular el imaginario derivados de $\sin(x)$.

Answer 1

Este fue un comentario, pero @hjhjhj57 sugirió que podría servir como una respuesta.

Si usted escribe el lado derecho de la ecuación como $\lim_{t\to−∞}e^{it}=\lim_{t\to−∞}(e^i)^t$, es completamente claro que el límite no existe: está tomando el número de $e^i$, que está en el círculo unitario, y llevarla a un gran (pero negativo) de potencia. Usted tiene un punto que corre alrededor del círculo unidad infinitamente muchas veces como $t\to−∞$, sin límite en todos.

Answer 2

Esto no puede ser definido en el plano complejo. Si $0^i\in\mathbb{C}$,$(0^i)^i = 0^{-1}$.

Answer 3

Es posible interpretar este tipo de expresiones en muchas maneras en que puede tener sentido. La pregunta es, cuáles son las propiedades que queremos que esta interpretación?

$0^i = 0$ es una buena opción, y quizás la única elección que hace sentido concreto, ya que sigue la convención de $0^x = 0$. Por otro lado, $0^{-1} = 0$ es claramente falso (bueno, casi-vea la discusión sobre el duende de la respuesta), y $0^0=0$ es cuestionable, por lo que este convenio podría ser imprudente al $x$ no es un real positivo.

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Profundizando: generalmente se define complejo exponenciación como un multi-función con valores: si $e^c = a$, entonces podemos definir el $a^x = e^{cx}$. Este no es el único, ya que de ello depende la elección de $c$, pero es una buena manera de pensar acerca de cantidades como $i^i$ (esto a veces se dice ser $e^{-\pi/2}$, pero puede ser interpretado como $e^{-\pi/2 + 2\pi n}$ cualquier $n\in\mathbb{Z}$)

Este enfoque rompe $0^i$, debido a $0$ no tiene logaritmo natural de los números complejos. Sin embargo, si estamos cómodos llamando $-\infty$ (o $-\infty + 2\pi i n$) un registro natural de $0$, entonces podemos decir que el $0^x = e^{-\infty \cdot x} = 0$ al $x$ tiene parte real positiva.

Al $x$ tiene parte real negativa, esto nos lleva a considerar a $0^x$ como la cantidad con la magnitud infinita e indefinida argumento. Al $x$ es imaginario, el argumento es aún indefinido, pero la magnitud es de varios valores en lugar de infinito.

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Mi conclusión es que debemos evitar la asignación de significado a $0^i$.

Escrito $|0^i| = 1$ puede ser conveniente, sin embargo, bajo algunas circunstancias.

En una configuración general, yo estaría cómodo diciendo que $|0^i| = e^{2\pi n}$, para cualquier $n\in\mathbb{Z}$.

Answer 4

Tenemos:

$$\lim_{x\to0} e^{i \log x}=\lim_{x\to\infty} e^{-ix}=\lim_{x\to\infty} (-1)^{-x}=\lim_{x\to\infty} (-1)^{x}$$

El límite como has notado, no existe... Pero si desea asignar un valor, sin embargo... bueno, el valor de la media de $(-1)^n$ cero:

$$\lim _{x\to\infty} \frac 1{x}\int_0^x (-1)^x =0$$

Answer 5

Para $i > 0$, $\lim_{n \rightarrow 0}n^i=0^i=0$.

Para $i < 0$, $\lim_{n \rightarrow 0}n^i$ no existe a menos $i$ es un entero par.

Para $i = 0$, $\lim_{n \rightarrow 0}n^i=\lim_{n \rightarrow 0}n^0=\lim_{n \rightarrow 0}1=1$.