Tengo problemas para probar que si $(M,J)$ es una variedad compleja con $J$ una estructura casi compleja compatible, entonces el tensor de Nijenhuis de $J$ desaparece: en otras palabras, me gustaría encontrar que para cualesquiera dos campos vectoriales $X,Y$ uno tiene $$ J[X,Y]=J[X,JY]+J[JX,Y]+[X,Y] $$ He intentado aplicar todas las definiciones de conmutador que conozco, pero no lo consigo...
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Editar : ¿Estoy utilizando una definición errónea de conmutador? ¿Puede confirmarme que $[X,Y]$ se define para $X=X_i\partial_i$ , $Y=Y_j\partial_j$ el campo vectorial $$ \sum_{i=1}^N\Big(\sum_{j=1}^N X_j\frac{\partial Y_i}{\partial x_j}-Y_j\frac{\partial X_i}{\partial x_j}\Big)\partial_i $$
