$\lim_{x\to 2} \, \sqrt{x-2}$

Question

$$\lim_{x\to 2} \, \sqrt{x-2}$$

Cuando usted toma la mano derecha el límite de esta expresión, se obtiene $0$. Sin embargo, si usted toma el lado izquierdo da un número imaginario.

Sin embargo, ¿considera que la parte imaginaria al tomar el límite (en cuyo caso ambas partes tienden a $0$) o ¿considera que el límite para ser indefinido, porque no puede ser abordado desde la izquierda en el campo de los números reales.

Answer 1

Bien, esto es complicado. Parte de la cuestión es, ¿qué hace el símbolo de $\sqrt{\cdot}$ significa? Si $a$ es un número real positivo, denotamos por a $\sqrt{a}$ el número real positivo cuyo cuadrado es $a$. Por lo general, si queremos una raíz cuadrada de un negativo o un número complejo, tenemos que ser muy específico acerca de que la raíz cuadrada. Por ejemplo, solemos decir $i$ es la raíz cuadrada de $-1$, pero esto no es del todo correcto, ya que $-i$ también es una raíz cuadrada de $-1$.

En el cálculo, cuando se trata de funciones de variables reales, no queremos entrar en esta pegajosa territorio, así que podemos decir que el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x}$ es el conjunto de no-negativos reales. Por lo tanto, si queremos tomar un límite de $x$$0$, solo podemos considerar las rutas de a $0$ que se encuentran dentro del dominio de la función. En este caso, eso significa que sólo podemos tomar una 'mano derecha' límite.

Curiosamente, sin embargo, se podría pensar de $f$, como un complejo de valores de la función, por lo que tomar una 'mano izquierda' límite daría \begin{eqnarray*} \lim_{x\to 2^{-}} \sqrt{x-2} &=& \lim_{x\to 2^{-}} \\ &=&\lim_{x\to 2^-} \sqrt{(-1)(2-x)}\\ &=& \lim_{x\to 2^{-}} i\;\sqrt{2-x}\\ &=& i \cdot \lim_{x\to 2^{-}} \sqrt{2-x}\\ &=& 0, \end{eqnarray*} así que, en cierto sentido, todo lo comprueba.