Caracterización de espacios vectoriales normados de dimensión finita

Question

Tengo este problema:

Sea $E$ sea un espacio vectorial normado. $S=\{x\in E : ||x||=1\}$ . Demuestre que si $S$ es compacto, entonces $\dim E$ es finito.

Esto se deduce directamente del lema de Riesz, pero en los apuntes del curso, la pista para este ejercicio es:

"El conjunto $\{x\in E: a\leq ||x||\leq b\}$ es homeomorfo al conjunto $[a,b]\times S$ para $b>a>0$ ."

¿Cómo puedo utilizar esto para resolver el problema?

Aquí un homeomorfismo es una función $f$ entre espacios métricos $E$ y $E'$ y tal que $f$ y $f^{-1}$ son continuas. Y entonces, $E$ es homeomorfo a $E'$ si existe un homeomorfismo $f:E\to E'$ .

Answer 1

Se trata de un resultado estándar para espacios vectoriales topológicos (Hausdorff): Son de dimensión finita si son localmente compactos. La pista en su ejercicio se puede utilizar para demostrar que E es localmente compacto si S es compacto. Porque si S es compacto, entonces también lo es $$\overline B_{1} := \{ \|x\| \le 1 \} \cong S \times [0, 1]$$ y por tanto toda bola epsilon cerrada $$\overline B_{\epsilon} := \{ \|x\| \le \epsilon \}$$ es compacto.

Por lo tanto, podemos suponer que E es localmente compacto y tenemos que demostrar que esto implica que es de dimensión finita. Este es un ejercicio estándar.

Definir para cada $\epsilon \gt 0$ $$B_{\epsilon} (x_0) := \{ \|x - x_0\| \lt \epsilon \}$$

Desde $\overline B_{1}$ es compacto, tiene para cada cubierta abierta que consiste en $B_{\epsilon} (x_0)$ para todos $x_0 \in \overline B_{1}$ una subcubierta finita para algunos puntos $x_1, ..., x_n$ . Si elige su $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, podrás demostrar que $\overline B_{1}$ está contenida en el tramo lineal de estos puntos.

Pero, de nuevo, este es un argumento estándar que encontrarás en cualquier libro sobre espacios vectoriales topológicos, como, por ejemplo, en el libro de Helmut Schäfer "Topological Vector Spaces" en el párrafo 3 ("Topological Vector Spaces of Finite Dimensions") del primer capítulo.