Se trata de un resultado estándar para espacios vectoriales topológicos (Hausdorff): Son de dimensión finita si son localmente compactos. La pista en su ejercicio se puede utilizar para demostrar que E es localmente compacto si S es compacto. Porque si S es compacto, entonces también lo es $$ \overline B_{1} := \{ \|x\| \le 1 \} \cong S \times [0, 1] $$ y por tanto toda bola epsilon cerrada $$ \overline B_{\epsilon} := \{ \|x\| \le \epsilon \} $$ es compacto.
Por lo tanto, podemos suponer que E es localmente compacto y tenemos que demostrar que esto implica que es de dimensión finita. Este es un ejercicio estándar.
Definir para cada $\epsilon \gt 0$ $$ B_{\epsilon} (x_0) := \{ \|x - x_0\| \lt \epsilon \} $$
Desde $\overline B_{1}$ es compacto, tiene para cada cubierta abierta que consiste en $B_{\epsilon} (x_0)$ para todos $x_0 \in \overline B_{1}$ una subcubierta finita para algunos puntos $x_1, ..., x_n$ . Si elige su $\epsilon$ lo suficientemente pequeño, podrás demostrar que $\overline B_{1}$ está contenida en el tramo lineal de estos puntos.
Pero, de nuevo, este es un argumento estándar que encontrarás en cualquier libro sobre espacios vectoriales topológicos, como, por ejemplo, en el libro de Helmut Schäfer "Topological Vector Spaces" en el párrafo 3 ("Topological Vector Spaces of Finite Dimensions") del primer capítulo.
