Estoy tratando de encontrar la convergencia o divergencia de $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(\log n)}{n}\text{.}$$ He tratado de utilizar el teorema del apretón, sin embargo, mi profesor dijo que $\log(n)$ crece demasiado lentamente para que el numerador se asuma como cero. No veo una solución con el enésimo término, la comparación de límites o la comparación directa. Cualquier sugerencia sería genial.
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Misha
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La serie no converge porque oscila demasiado. Sea $$S_m = \sum_{n=1}^m \frac{\cos \ln n}{n}$$ sea la secuencia de sumas parciales. Entonces, para un $N > 0$ podemos encontrar $m_1, m_2$ con $|S_{m_1} - S_{m_2}| > 1$ Así que las sumas parciales siguen oscilando en una cantidad constante sin importar lo lejos que se vaya.
(En términos de análisis real, $(S_m)$ no converge porque no es Cauchy).
Para demostrarlo, dado cualquier $N>0$ , elija $k$ tal que $e^{(k-\frac13)\pi} > N$ y considerar la suma $$\sum_{n = \exp((k-\frac13)\pi}^{\exp((k+\frac13)\pi)} \frac{\cos \ln n}{n}.$$ En este intervalo, tenemos $(k - \frac13)\pi \le \ln n \le (k + \frac13)\pi$ y por lo tanto $\cos \ln n \ge \frac12$ o $\cos \ln n < -\frac12$ según si $k$ es par o impar. Los dos casos son simétricos, así que supongamos $k$ está en paz.
En ese caso, cada término de la suma es al menos $\frac{1}{2n}$ y tenemos $$\sum_{n=a}^b \frac{1}{2n} \approx \frac12 \left(\ln b - \ln a\right)$$ con un error que va a $0$ ya que elegimos un tamaño lo suficientemente grande $a, b$ . (Lo sabemos por una estimación asintótica de los números armónicos ( Wikipedia ) o de una comparación con la integral de $\frac{1}{2x}$ entre $a$ y $b$ .)
En este caso, $a = \exp((k-\frac13)\pi)$ y $b = \exp((k+\frac13)\pi)$ Así que $\frac12(\ln b - \ln a) = \frac\pi3$ . Si $k$ se elige para que nuestras estimaciones sean lo suficientemente precisas (y podemos elegir $k$ sea tan grande como queramos) entonces $$\sum_{n = \exp((k-\frac13)\pi}^{\exp((k+\frac13)\pi)} \frac{\cos \ln n}{n} > \frac\pi3 - 0.001 > 1.$$
