Simple QFT ejercicio

Question

Considere una partícula en la recta real:

$L=\frac{1}{2}(\partial_0q)^2 + f(q)\partial_0q$

la ecuación de movimiento es el de una partícula libre $\partial_0^2q=0$. De hecho,$\delta[f(q)\partial_0q]=0$. Esto es correcto?

Answer 1

1) supongo que el OP significa que $q=q(t)$ es una sola dinámico de la variable para una clásica función de Lagrange

$$ L~=~ \frac{1}{2}m\dot{q}^2 + f(q)\dot{q}, $$

donde $f=f(q)$ es una función dada. También asumo que el problema está bien planteado, es decir, que el problema ha coherente de las condiciones de contorno. Decir, el $q$ variable se fija en la hora inicial y hora final,

$$q(t_i)=q_i \qquad\text{and} \qquad q(t_f)=q_f.$$

2) Aquí vamos a abordar solamente el clásico aspecto de OP de la pregunta(v1). Sí, bajo suave supuestos, podemos suponer que la $f=f(q)$ es la derivada de alguna función $F=F(q)$, es decir,

$$ f(q)~=~ F^{\prime}(q).$$

A continuación, el último término en el Lagrangiano se convierte en un tiempo total de derivados

$$ L~=~ \frac{1}{2}m\dot{q}^2+ \frac{d F(q)}{dt}. $$

Clásicamente, la ecuación de movimiento no dependen total de términos derivados en el Lagrangiano, para un equivalente de Lagrange es el de Lagrange para una partícula libre

$$ \tilde{L}~=~ \frac{1}{2}m\dot{q}^2. $$

Por lo tanto la ecuación de movimiento es sólo

$$\ddot{q}~=~0.$$

Answer 2

Esta pregunta es muy ambigua! Usted tiene un producto de noncommuting operadores en la ruta integral, lo que significa que la respuesta es sensible a la discretización.

En primer lugar, debe tener en cuenta que

$$ {d\over dt} F(q(t)) = F'(q) \dot{q}$$

De modo que por la elección de F a la antiderivada de f, se entera de que el término es un perfecto derivados, y por lo tanto irrelevante, debido a que la integral de una perfecta derivados sólo depende de los extremos.

Pero cuando usted tiene el producto de la no-desplazamientos de los operadores de Lagrange (aunque no sean los operadores en el Lagrangiano!), usted necesita tener cuidado acerca de la discretización de la orden. Si utiliza un avance de discretización, el producto $f\dot{q}$ aporta una energía potencial de la $f'(q)/2m$. Si es al revés, no es $-f'(q)/2m$ potencial. Sólo centrada en la diferencia es la ecuación de movimiento de la partícula libre.

La ecuación de movimiento es, por tanto:

$$ m\ddot{x} \pm f''(q)/2m = 0$$

o otra cosa

$$ {m\ddot{x} = 0}$$

dependiendo del operador de la orden.

En general, la convención para Lagrangians en la física es que cuando un derivado multiplica una función, la derivada se interpreta como una centrada en la diferencia, por lo que su plazo es realmente perfecto derivados. Pero la centrada en la diferencia convención no es óptimo para todo, ya que conduce a la "Fermión duplicar el problema". Usted sólo debe saber de la ambigüedad, y cómo funciona. Se describe en detalle en el comportamiento estocástico integral de caso (que es exactamente análogo y un poco más intuitivo) en la respuesta a esta pregunta: Cruz-campo de difusión de Smoluchowski aproximación .

Aquí está la diferencia entre la compra en una cáscara de nuez:

$$f(q(t+\epsilon)) {q(t+\epsilon) - q(t)\over \epsilon} - f(q(t+\epsilon){q(t+\epsilon)-q(t)\over \epsilon } $$ $$ = { (f(q(t+\epsilon)-f(q(t))(q(t+\epsilon)-q(t))\over\epsilon}$$

Y esto es igual a (hasta los términos de orden superior que se desvanecen como $\epsilon$ va a cero)

$$ f'(q(t)) { (q(t+\epsilon)-q(t))^2\over \epsilon}$$

Un movimiento Browniano (o de una típica contribuyendo ruta de acceso a un quantum de ruta integral, mediante la continuación analítica en el tiempo), tiene la propiedad de que el cuadrado de desplazamiento es proporcional a la vez para infintiesimal incrementos de tiempo. De modo que el cociente entre paréntesis promedios en una constante.

El valor de la constante es aclarado por la comprensión canónica de la conmutación en la ruta integral.

$$ q(t+\epsilon) m\dot{q}(t) - q(t)m\dot{q} = 1 $$

Para un movimiento Browniano (esta es la plaza de la ley de desplazamiento, se puede deducir mediante la expansión de la derivada). Es decir que la posición es realmente trivial correlacionada con la (infinito) el valor de la velocidad, de modo que la posición de futuro es en realidad finitely correlaciona con la velocidad promedio dada la posición anterior. Esto es intuitivo si usted piensa acerca de ello, y es lo que el canónica relaciones de conmutación en la ruta integral.

A partir de esto, se entera de que el colector de un término es ${1\over m} f'(q)$, y la mitad de este se agrega para hacer una diferencia hacia adelante, resta hacer una atrás de la diferencia, o no hacer nada por una centrada en la diferencia.