¿Cuál es la probabilidad de que una carrera de éxitos consecutivos de $N$ ocurrirá antes de una carrera de $k$ fracasos consecutivos cuando cada ensayo tiene un % de probabilidad $p$de éxito y $q=1-p$ del fracaso?
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El segundo elemento en una búsqueda en Google de la frase "Ejecutar de $N$ éxitos antes de la ejecución de $k$ fallas" (la primera es esta pregunta!) da una búsqueda de libros de Google enlace a la página 71 de Un Primer Curso de Probabilidad de Tapas por K. Chandra, Dipak Chatterjee.
Después de una explicación detallada, la solución dada no es $${p^{N-1}(1-q^k)\over p^{N-1}+q^{k-1}-p^{N-1}q^{k-1}}.$$
Matthew Scouten
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Estoy asumiendo que usted cuenta "de una carrera de N consecutivos éxitos" tan pronto como N consecutivos éxitos se han producido, sin esperar a ver si la próxima prueba será un éxito (es decir, si esta va a ser una carrera de exactamente N, o más de N, éxitos consecutivos). Deje $u_n$ la probabilidad de que una carrera de N consecutivos éxitos se produce antes de una carrera de k errores consecutivos, dado que se inicia con los $n$ consecutivos éxitos (si $n \ge 0$) o $-n$ errores consecutivos (si $n < 0$). Así que usted desee $u_0$. Las condiciones de frontera, se $u_N = 1$$u_{-k} = 0$, y el primer paso del análisis, indicando si $n \ge 0$, $u_n = p u_{n+1} + q u_{-1}$, mientras que si $n \le 0$, $u_n = p u_1 + q u_{n-1}$. A partir de la primera recurrencia tenemos $u_n - u_{-1} = p (u_{n+1} - u_{-1})$ $n \ge 0$ , por lo que $u_0 - u_{-1} = p^N (u_N - u_{-1}) = p^N (1 - u_{-1})$ $u_1 - u_{-1} = p^{N-1} (1 - u_{-1})$. A partir de la segunda, $u_n - u_1 = q (u_{n-1} - u_1)$$n \le 0$, por lo que $u_0 - u_1 = q^k (u_k - u_1) = - q^k u_1$ $u_{-1} - u_1 = - q^{k-1} u_1$. Poniendo estos juntos, puedo llegar $u_{0} = \frac{p^N q (1 - q^k)}{p q^k + p^N q - p^N q^k}$.
