Deje XX ser metrizable (no necesariamente polaco), y considerar el hiperespacio de todos los subconjuntos compactos de XX, K(X)K(X), dotado de la topología de Vietoris (subbasic abre: {K∈K(X):K⊂U}{K∈K(X):K⊂U} {K∈K(X):K∩U≠∅}{K∈K(X):K∩U≠∅} U⊂XU⊂X abierto), o, equivalentemente, la métrica de Hausdorff. Queremos mostrar que Kp(X)={K∈K(X):K is perfect}Kp(X)={K∈K(X):K is perfect}GδGδK(X)K(X). (Esta es otra pregunta de Kechris, Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos, el Ejercicio 4.31.)
Un enfoque posible: Kp(X)=⋂∞n=1{K∈K(X):∀x∈K,(B(x,1/n)∖{x})∩K≠∅}Kp(X)=⋂∞n=1{K∈K(X):∀x∈K,(B(x,1/n)∖{x})∩K≠∅}. ¿Qué podemos decir acerca de la complejidad de {K∈K(X):∀x∈K,(B(x,1/n)∖{x})∩K≠∅}{K∈K(X):∀x∈K,(B(x,1/n)∖{x})∩K≠∅}? Tenga en cuenta que fija xx, la {K∈K(X):(B(x,1/n)∖{x})∩K≠∅}{K∈K(X):(B(x,1/n)∖{x})∩K≠∅} está abierto en K(X)K(X). También, el conjunto de {(x,K)∈X×K(X):x∈K}{(x,K)∈X×K(X):x∈K} es cerrado en X×K(X)X×K(X), pero no creo que esto ayuda desde la proyección de una GδGδ establecer la necesidad de no ser GδGδ.
Alguna idea?