El fin de todo es Alá.

Question

Deje $X$ ser metrizable (no necesariamente polaco), y considerar el hiperespacio de todos los subconjuntos compactos de $X$, $K(X)$, dotado de la topología de Vietoris (subbasic abre: $\{K\in K(X):K\subset U\}$ $\{K\in K(X):K\cap U\neq\emptyset\}$ $U\subset X$ abierto), o, equivalentemente, la métrica de Hausdorff. Queremos mostrar que $K_p(X)=\{K\in K(X):K \text{ is perfect}\}$$G_\delta$$K(X)$. (Esta es otra pregunta de Kechris, Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos, el Ejercicio 4.31.)

Un enfoque posible: $K_p(X) = \bigcap_{n=1}^\infty \{K\in K(X): \forall x\in K, (B(x,1/n)\setminus\{x\})\cap K\neq\emptyset\}$. ¿Qué podemos decir acerca de la complejidad de $\{K\in K(X): \forall x\in K, (B(x,1/n)\setminus\{x\})\cap K\neq\emptyset\}$? Tenga en cuenta que fija $x$, la $\{K\in K(X): (B(x,1/n)\setminus\{x\})\cap K\neq\emptyset\}$ está abierto en $K(X)$. También, el conjunto de $\{(x,K)\in X\times K(X):x\in K\}$ es cerrado en $X\times K(X)$, pero no creo que esto ayuda desde la proyección de una $G_\delta$ establecer la necesidad de no ser $G_\delta$.

Alguna idea?

Answer 1

Para cualquier $n\in\Bbb Z^+$ y abrir $U_1,\dots,U_n$ $X$ definir

$$B(U_1,\dots,U_n)=\left\{K\in\mathscr{K}(X):K\subseteq\bigcup_{k=1}^nU_k\text{ and }K\cap U_k\ne\varnothing\text{ for }k=1,\dots n\right\}\;;$$

la colección de $\mathscr{B}$ de estos conjuntos es una base para la topología de $\mathscr{K}(X)$.

Para $n\in\omega$ deje $\mathfrak{U}_n$ ser la colección de todos los finita familias de abrir conjuntos de diámetro inferior a $2^{-n}$. Para cada una de las $\mathscr{U}\in\mathfrak{U}$ $p,q:\mathscr{U}\to\bigcup\mathscr{U}$ tal que para cada $U\in\mathscr{U}$, $p(U)$ y $q(U)$ son distintos puntos de $U$, revisión discontinuo abrir conjuntos de $V_{\mathscr{U},p,q}(U)$ $W_{\mathscr{U},p,q}(U)$ $U\in\mathscr{U}$ tal que $p\in V_{\mathscr{U},p,q}(U)\subseteq U$$q\in W_{\mathscr{U},p,q}(U)\subseteq U$. A continuación, vamos a

$$G(\mathscr{U},p,q)=B(\mathscr{U})\cap\bigcap_{U\in\mathscr{U}}B\big(V_{\mathscr{U},p,q}(U),W_{\mathscr{U},p,q}(U),X\big)\;,$$

deje $\mathscr{G}_n$ ser el conjunto de todos los $G(\mathscr{U},p,q)$$\mathscr{U}\in\mathfrak{U}_n$, y deje $G_n=\bigcup\mathscr{G}_n$; claramente cada una de las $G_n$ está abierto en $\mathscr{K}(X)$.

Deje $K\subseteq X$ ser un no-vacío compacto sin puntos aislados. Fix $n\in\omega$. Deje $\mathscr{U}$ ser finito, abra la cubierta de $K$ por los conjuntos de diámetro inferior a $2^{-n}$. Elegir distintos puntos de $p(U),q(U)\in K\cap U$ por cada $U\in\mathscr{U}$. A continuación, $G(\mathscr{U},p,q)\in\mathscr{G}_n$ es una nbhd de $K$$\mathscr{K}(X)$, lo $K\in G_n$.

Ahora supongamos que $K\subseteq X$ es compacto, pero tiene un punto aislado $x$. Fix $m\in\omega$ tal que $$B(x,2^{-m})\cap K=\{x\}\;,$$ where $B(x,\epsilon)$ is the open ball of radius $\epsilon$ centred at $x$.

Supongamos que $n\ge m$$K\in G(\mathscr{U},p,q)\in\mathscr{G}_n$. Algunos $U\in\mathscr{U}$ contiene $x$, y $$K\in B\big(V_{\mathscr{U},p,q}(U),W_{\mathscr{U},p,q}(U),X\big)\;,$$ so there are distinct points $y\in K\cap V_{\mathscr{U},p,q}(U)$ and $z\in K\cap W_{\mathscr{U},p,q}(U)$. But $$y,z\in U\subseteq B(x,2^{-n})\subseteq B(x,2^{-m})\;,$$ so $y,z\in B(x,2^{m})\cap K=\{x\}$, which is impossible. Thus, $K\noen G_n$ for $n\ge m$.

Por último, vamos a $G=\bigcap_{n\in\omega}G_n$. Claramente $G$ $G_\delta$en $\mathscr{K}(X)$, y hemos demostrado que $G=\{K\in\mathscr{K}:K\text{ is perfect}\}$.