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El fin de todo es Alá.

Deje XX ser metrizable (no necesariamente polaco), y considerar el hiperespacio de todos los subconjuntos compactos de XX, K(X)K(X), dotado de la topología de Vietoris (subbasic abre: {KK(X):KU}{KK(X):KU} {KK(X):KU}{KK(X):KU} UXUX abierto), o, equivalentemente, la métrica de Hausdorff. Queremos mostrar que Kp(X)={KK(X):K is perfect}Kp(X)={KK(X):K is perfect}GδGδK(X)K(X). (Esta es otra pregunta de Kechris, Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos, el Ejercicio 4.31.)

Un enfoque posible: Kp(X)=n=1{KK(X):xK,(B(x,1/n){x})K}Kp(X)=n=1{KK(X):xK,(B(x,1/n){x})K}. ¿Qué podemos decir acerca de la complejidad de {KK(X):xK,(B(x,1/n){x})K}{KK(X):xK,(B(x,1/n){x})K}? Tenga en cuenta que fija xx, la {KK(X):(B(x,1/n){x})K}{KK(X):(B(x,1/n){x})K} está abierto en K(X)K(X). También, el conjunto de {(x,K)X×K(X):xK}{(x,K)X×K(X):xK} es cerrado en X×K(X)X×K(X), pero no creo que esto ayuda desde la proyección de una GδGδ establecer la necesidad de no ser GδGδ.

Alguna idea?

4voto

DiGi Puntos 1925

Para cualquier nZ+nZ+ y abrir U1,,UnU1,,Un XX definir

B(U1,,Un)={KK(X):Knk=1Uk and KUk for k=1,n};

la colección de B de estos conjuntos es una base para la topología de K(X).

Para nω deje Un ser la colección de todos los finita familias de abrir conjuntos de diámetro inferior a 2n. Para cada una de las UU p,q:UU tal que para cada UU, p(U) y q(U) son distintos puntos de U, revisión discontinuo abrir conjuntos de VU,p,q(U) WU,p,q(U) UU tal que pVU,p,q(U)UqWU,p,q(U)U. A continuación, vamos a

G(U,p,q)=B(U)UUB(VU,p,q(U),WU,p,q(U),X),

deje Gn ser el conjunto de todos los G(U,p,q)UUn, y deje Gn=Gn; claramente cada una de las Gn está abierto en K(X).

Deje KX ser un no-vacío compacto sin puntos aislados. Fix nω. Deje U ser finito, abra la cubierta de K por los conjuntos de diámetro inferior a 2n. Elegir distintos puntos de p(U),q(U)KU por cada UU. A continuación, G(U,p,q)Gn es una nbhd de KK(X), lo KGn.

Ahora supongamos que KX es compacto, pero tiene un punto aislado x. Fix mω tal que B(x,2m)K={x}, where B(x,ϵ) is the open ball of radius ϵ centred at x.

Supongamos que nmKG(U,p,q)Gn. Algunos UU contiene x, y KB(VU,p,q(U),WU,p,q(U),X), so there are distinct points yKVU,p,q(U) and zKWU,p,q(U). But y,zUB(x,2n)B(x,2m), so y,zB(x,2m)K={x}, which is impossible. Thus, K\noenGn for nm.

Por último, vamos a G=nωGn. Claramente G Gδen K(X), y hemos demostrado que G={KK:K is perfect}.

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