Una alternativa a considerar la ley del medio excluido como un axioma, es considerarla como una definición. Usted puede considerar la definición de un valor Booleano ser que es verdadero o falso, entonces el mecánico de la lógica se convierte simplemente para determinar si podemos probar que un valor es un valor Booleano, momento en el que usted puede deducir el medio excluido.
Pero usted pidió un ejemplo. Aquí está uno que me encontré una vez.
Existe una dualidad entre conjuntos y funciones. Por ejemplo, una persona puede escribir $S \cup T$ y el otro puede escribir $s(x) \lor t(x)$. Es un ejercicio que vale la pena convertir expresiones entre su forma y su función de forma. Así que vamos a hacerlo con Russell auto contradictorio conjunto:
Formulario:
$$P \equiv \{x \mid x \not \in x\}$$
Convierte a la lógica booleana y funciones se convierte en:
$$p \equiv (\lambda q)\, \lnot q(q)$$
Russell paradoja viene de la consideración de $P \in P$. La forma de la función es equivalente a considerar $p(p)$:
$$p(p) = \bigg((\lambda q)\, \lnot q(q)\bigg)(p) = \lnot p(p)$$
Es $p(p) = \lnot p(p)$ paradójico? No, porque no hemos definido que el $(\forall x )p(x)$ debe ser un valor booleano. No hemos asumido el medio excluido. Por otro lado, algunas de las lógicas asumen $(\forall x,y)\,x\in y$ es un valor booleano, que asume el medio excluido (y hacer un heroico intento de limitar el conjunto de la comprensión), que da como resultado la definición de $P$ ser paradójico.
Hay compensaciones en el diseño de una lógica. Si sólo vas a usar de primer orden de la lógica, se puede suponer que el medio excluido largo de todo el día. Si desea utilizar la lógica de orden superior y parcial de la lógica (lógica donde el dominio de las funciones no es el universo), entonces usted da para arriba el medio excluido.
Otra forma de abordar esta cuestión (parece ser que hay muchas) es en términos de decidability.
Gödel establece que en cada suficientemente descripción axioma/inferencia conjunto, no hay un gramaticalmente válida la afirmación de que es indecidible o que su lógica es auto-contradictoria.
Ahora, ¿qué pasa si asumimos que cada indecidible declaración de $D$ es verdadero o falso? Deje $A$ ser el conjunto de todas las posibles asignaciones de verdadero o falso a $D$:
$$\forall d \in D ~~\bigg(d \lor \lnot d\bigg)$$
$$\exists c \in A ~~\forall d \in D ~~ \bigg(d = c_d\bigg)$$
Aún siendo bastante informal, la ley del medio excluido implica que hay al menos una asignación para el indecidible declaraciones. Pero Gödel establece que al menos un indecidible declaración debe existir, que no es ni verdadero ni falso para el axioma establece que para ser consistentes. Estoy bastante seguro de que esto inevitablemente lleva a una paradoja, aunque se les da a todos la codificación asociado con la Sentencia de Gödel puede ser muy complicado y rotonda.
De cualquier manera, es mucho más fácil (a partir de una consistencia POV) no asumir que todos los gramaticalmente correcto proposiciones son verdaderas o falsas, incluso si lo hace hacer algunas pruebas más difícil o inexistente.
