¿Cómo resolver Skolem ' s paradoja por darse cuenta de lo que puede decirse de un conjunto es en relación a lo que es en el dominio de algún modelo?

Question

Me disculpo de avanzada si estoy irremediablemente confundidos...

La Paradoja de Skolem, supongo, se puede poner como este:

$M$ es una contables modelo de ZFC y $M$ implica la existencia de multitud de conjuntos.

Supongo que la gente encuentra esto, en principio paradójico, ya que se supone que la declaración se dice que a partir de una única, absoluta perspectiva. Sin embargo, no son (necesariamente) dos perspectivas: una dentro de la perspectiva en $M$ y el fuera de perspectiva en $M$. Una vez que estas perspectivas están separados, nos damos cuenta de que no hay ninguna paradoja. Considere la posibilidad de:

El ex conjunto "$M$ es una contables modelo de ZFC" es, necesariamente, dijo que a partir de un fuera de perspectiva en $M$ -- como se ha discutido aquí. En realidad, $M$ no puede expresar su propio cardinalidad.

(Es $M$'s incapacidad para expresar sus propias cardinalidad relativa a $M$'s de ser una clase adecuada-es decir, que no hay ninguna función en $M$ que se lleva a uno de $M$'s de los miembros en el universo de $M$?)

Continuando...Vamos a $N$ ser el fuera de perspectiva en $M$ que hay un bijection $f\in N$ entre el dominio de M $M$ $\omega^N\in N$.

El último conjunto "$M$ implica la existencia de multitud de conjuntos" es, obviamente, dijo que a partir de $M$'s dentro de la perspectiva -- después de todo, $M$ es un modelo de ZFC y por lo tanto debe satisfacer el Cantor del Teorema.

Así, podemos separar las perspectivas de la paradójica afirmación anterior aquí:

• De $M$'s de la perspectiva, $M$ es una clase adecuada y hay algunos $A\in M$ tal que $A$ es incontable en $M$.
• De $N$'s de la perspectiva, $M$ es contable.

Estas dos declaraciones son conjuntamente coherente cuando nos damos cuenta de que lo que se puede decir de un conjunto $B$ es relativo a lo que algunos modelo tiene que decir acerca de $B$. Y así, la paradójica afirmación no es tan paradójico.

No hay nada de malo con lo que he escrito arriba? (Me tomó un largo tiempo para aprender estas cosas, esp. con cero de fondo en teoría, mayor de matemáticas, de mayor lógicas, modelo, teoría, etc., por lo que específicamente me dice donde estoy mal, si estoy, será una gran ayuda y un gran alivio.)

---

Lo que más me interesa es lo que podemos decir acerca de $A$ $N$'s de la perspectiva? Son las siguientes:

1. $M$ ve $M$ como una clase adecuada, $M$ ve $A$ como innumerables, $N$ ve $M$ como contable, y $N$ ve $A$ como finito.
2. $M$ ve $M$ como una clase adecuada, $M$ ve $A$ como innumerables, $N$ ve $M$ como contable, y $N$ ve $A$ como contables.
3. $M$ ve $M$ como una clase adecuada, $M$ ve $A$ como innumerables, $N$ ve $M$ como contable, y $N$ ve $A$ como innumerables.

Bajo qué condiciones podría (1) - (3), de forma individualizada posible (obviamente no pueden ser en forma conjunta es posible)?

Sospecho que esta pregunta podría ser bastante simple. Por ejemplo, (2) podría ser posible al $N$ reconoce un bijection tanto entre los $M$ $\omega^N$ y entre el$A$$\omega^N$. (3) podría ser posible al $N$ reconoce un bijection entre el $M$ $\omega^N$ pero no reconoce un bijection entre el$A$$\omega^N$.

Mi objetivo aquí es entender/hincapié en el hecho de que la verdad en el modelo de la teoría es relativo a lo que cada uno de los modelos tienen que decir acerca de sus miembros. Por lo tanto, estoy tratando de ver que, si bien $M$ puede tardar $A$ a ser innumerables, $N$ puede tomar $A$ a ser de cualquier cardinalidad incluso bajo la condición de que $N$ ve $M$ como contable.

Answer 1

El segundo y el tercero son fácilmente descriptible:

Supongamos que $N$ es un modelo de ZFC y $N$ piensa que $M$ es una contables modelo transitivo de ZFC ($M$ puede no ser modelo, pero internamente a $N$ esta afirmación se sostiene).

Esto significa que $N$ piensa que $M$ es contable, y que cada elemento de a $M$ es contable. $M$, por otro lado, se sabe que algunos conjuntos que son innumerables. Así que tenemos $\omega_1^M$ es una contables ordinal en $N$, por lo que la segunda situación se mantiene.

Supongamos ahora que tenemos un buen modelo de ZFC, $N$, que es incontable y que sabe acerca de innumerables conjuntos. Si tomamos $\omega_1^N$ podemos considerar $M$ una contables primaria submodel de $N$ tal que $\omega_1^N\in M$. Por elementarity $M$ $N$ está de acuerdo en $\omega$ y ambos están de acuerdo en que no hay bijection entre ese conjunto y $\omega_1^N$. Así que tenemos la tercera situación en la que ambos modelos coinciden en que un conjunto es incontable.

Por último, la dirección de la primera situación, lo que queremos es tener un mal fundada modelo de ZFC que piensa de una multitud innumerable como su $\omega$, pero que también sabe acerca de algún modelo que es más bonito. No estoy seguro de cómo abordar esta situación, ya que para $N$ a pensar que $M$ es un modelo de ZFC, $N$ tendría que afirmar que $M$ tienen ciertas propiedades en $N$. Estas propiedades pueden hacer que sea imposible dar el salto de lo infinito a lo finito de esta manera.

Existe una posibilidad de que $N$ no serán conscientes de que $M$ es un modelo de ZFC, pero que derrota el propósito porque entonces hablamos desde un punto de vista externo sobre estos dos modelos.

Answer 2

(CAVEAT LECTOR: este post fue hecho con el supuesto implícito de que $M$ $N$ son transitivos modelos de ZFC, que hace que varios de los pensamientos aquí inexacta. Ver los comentarios de abajo.)

La única situación posible aquí es (2). (1) es imposible, porque la finitud es absoluta - un conjunto finito es 'siempre' finito. (Huy - ver más abajo!) (3) también es imposible: desde $A\in M$, y desde $N$ 've' $M$ como una contables transitiva conjunto, $N$ también ha $A\subset M$; la aplicación de la bijection entre el $M$ $\omega$ $A$a continuación se da un bijection en $N$ $A$ a un contable establecido.

Como para la corrección de lo que dijo, creo que vale la pena poner más énfasis en lo que countability y uncountability media en los modelos; me gustaría hablar más explícitamente acerca de la falta de cualquier bijection $g$ $A$ $\omega$ $M$y cómo $N$ puede tener un bijection que $M$ 'conscientes' de.

EDIT: como pichael señala en los comentarios, la finitud es no absoluta; siendo un determinado número finito es, y creo que ser un ordinal finito debe ser, pero sólo la reclamación "a es finito' no es absoluta en los modelos. Por otro lado, para el caso específico de $A = \left(2^\omega\right)^M$, que todavía es posible mostrar que el $N$ no se puede pensar que es finito, debido a que $M$'s de la inclusión de $\omega\subset A$ lleva a través de a $N$, e $\omega$ es absoluta.