Distancia entre la elipse y la línea

Question

¿Cuál es la distancia entre la elipse $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$$ y la línea $y=6-x$ .

Creo que tengo que utilizar multiplicadores de Lagrange, pero no sé cómo.

Answer 1

La distancia desde un punto $(x,y)$ a la línea $x+y-6=0$ viene dado por $$ d(x,y)=\frac{|x+y-6|}{\sqrt{2}} $$ Así que quiere minimizar $d(x,y)$ sujeto a $$ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1 $$ Puede configurar $x$ et $y$ a $3\cos t$ et $4\sin t$ y el problema se reduce a minimizar $$ \frac{|3\cos t+4\sin t-6|}{\sqrt{2}} $$ Con las técnicas de cálculo habituales se obtiene $ t_{min} = 2\tan^{-1}\frac{1}{2} $ por lo que la distancia mínima es $\frac{1}{\sqrt{2}}$ y se alcanza con el punto $(\frac{9}{5},\frac{16}{5})$ .

Answer 2

Sólo otro enfoque, en aras de la variedad.

También puedes observar que en el punto de mayor aproximación, la elipse debe ser paralela a la recta $y = 6-x$ que tiene pendiente $-1$ . La diferenciación implícita de la elipse nos da

$$ \frac{2x}{9}+\frac{2y}{16}\frac{dy}{dx} = 0 $$

$$ 16x+9y\frac{dy}{dx} = 0 $$

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y} $$

que debe ser igual a $-1$ en el punto de máxima aproximación (con $x, y > 0$ -un rápido esquema mostrará por qué), así que

$$ y = \frac{16x}{9} $$

Introduce esto en la ecuación de la elipse, resuelve para el punto y obtén la distancia.

Answer 3

Este es un enfoque diferente que tiene las expresiones más simples y es casi lineal para resolver.

En el punto de mayor aproximación de la elipse hallar la recta tangente paralela a la recta dada. La recta dada es $$x+y=6$$ Una línea paralela es $$x+y=c$$

Para la ecuación de la elipse tienes que parametrizar los puntos de la elipse como $$\begin{align} x& = 3 \cos(t) &y & = 4 \sin(t) \end{align} $$

y cuando este punto pertenece a la recta tangente tenemos $$ c = 3 \cos(t) +4 \sin(t)$$

El punto de la elipse es tangente cuando un extremo de $c$ (mínimo o máximo). En general, se trata de $\frac{\partial c}{\partial t}=0$ o $$4 \cos(t)-3 \sin(t) =0$$ que se resuelve para $t= \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) $ o $$c = 5$$

Así que ahora sólo hay que encontrar la distancia entre $x+y=6$ et $x+y=5$ . Las líneas de 45° están separadas una unidad entre sí, por lo que la distancia es $\boxed{d=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Answer 4

Otra solución puramente algebraica: empezar como @ja72 con una recta paralela $y = c - x$ y encontrar sus puntos de intersección con la elipse, sustituyendo esto en la ecuación de la elipse y obteniendo una ecuación cuadrática en $x$ cuyos coeficientes dependen de c:

$$ 25x^2 - 18cx + 9(c^2 - 16) = 0 $$

Esto tendrá dos soluciones (reales) (o ninguna solución real) en general (dependiendo de si la línea interseca la elipse o no), excepto cuando c se dispone de tal manera que la línea sea tangente a la elipse, en cuyo punto sólo habrá una solución. Para que eso ocurra, el discriminante tiene que ser cero:

$$ B^2 - 4AC = (-18c)^2 - 4\cdot25\cdot9(c^2 - 16) = 0 $$

que se reduce a $c^2 = 25$ con soluciones $c = \pm 5$ . Obviamente, el paralelo más cercano a $y = 6 - x$ se obtiene cuando $c = 5$ . Las dos rectas tienen una pendiente de $-1$ es decir, a $-45^\circ$ ángulo con el eje x y están a una unidad de distancia en el $y$ (y, por consiguiente, también en el $x$ ), por lo que Pitágoras nos dice que la distancia entre ellos es $1\over \sqrt{2}$ .

Answer 5

El valor mínimo es la distancia mínima entre $x+y=6$ et $x+y=c$ ,

donde $x+y=c$ es una línea tangente a nuestra elipse

y puesto que $\frac{xx_1}{9}+\frac{yy_1}{16}=1$ es una línea tangente a la elipse en $(x_1,y_1)$ ,

obtenemos $\frac{x_1}{9}=\frac{1}{c}$ et $\frac{y_1}{16}=\frac{1}{c}$ .

Podemos suponer que $c\neq0$ porque es obvio que para $c=0$ no podemos obtener un valor mínimo.

Tras aplicar estas sustituciones a la ecuación de la elipse obtenemos para $(x_1,y_1)$ :

$\left(\frac{9}{5},\frac{16}{5}\right)$ o $\left(-\frac{9}{5},-\frac{16}{5}\right)$ .

La distancia entre $(x_1,y_1)$ et $x+y=6$ es $\frac{|x_1+y_1-6|}{\sqrt2}$ y

vemos que $\left(\frac{9}{5},\frac{16}{5}\right)$ obtiene una distancia mínima y $\left(-\frac{9}{5},-\frac{16}{5}\right)$ obtiene una distancia máxima.

Por lo tanto, la respuesta es $\frac{|\frac{9}{5}+\frac{16}{5}-6|}{\sqrt2}$ o $\frac{1}{\sqrt2}$