La respuesta es buena para los toros planos en todas las dimensiones. Escribamos un toro como $V/ \Gamma $ donde $V$ es un espacio vectorial real de dimensiones finitas $n$ con el producto interno $ \langle \cdot , \cdot \rangle $ y $ \Gamma $ es un red (un subgrupo discreto isomórfico a $ \mathbb {Z}^n$ que se extiende $V$ ). Cualquier función propia dos veces diferenciada $f : V/ \Gamma \to \mathbb {C}$ de la Laplaciana es en particular una eigenfunción limitada de la Laplaciana en $V$ así que podemos tomarlo para tener la forma $$f_w(v) = e^{2 \pi i \langle w, v \rangle }$$
para algunos $w \in V$ (por razones que se describirán más adelante). También necesitamos imponer la restricción de que $f_w$ es invariable bajo $ \Gamma $ por lo tanto, que $$e^{2 \pi i \langle w, v \rangle } = e^{2 \pi i \langle w, v + g \rangle }$$
para cada $g \in \Gamma $ . Esta condición se satisface si y sólo si $w$ pertenece a la doble rejilla $ \Gamma ^{ \vee }$ que consiste en todos los vectores $w$ de tal manera que $ \langle w, g \rangle \in \mathbb {Z}$ para todos $g \in \Gamma $ . Además, $$ \Delta f_w = - 4 \pi ^2 \| w \|^2$$
así que los valores propios de los lapones en $V/ \Gamma $ son sólo $- 4 \pi ^2$ veces los cuadrados de las longitudes de los vectores en $ \Gamma ^{ \vee }$ .
