Permita que$f:M\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función suave ($M$ es una variedad uniforme). Permita que$a$ sea un valor normal de$f$. ¿Es verdad que$f^{-1}(-\infty ,a]$ es una variedad lisa con límite$f^{-1}\{a\}$? Mi opinión es que es correcta y la prueba es muy similar a la prueba de que$f^{-1}\{a\}$ es una variedad sin problemas. ¿Estoy en lo cierto?
Respuesta
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Sí, eso es correcto. Usted sólo tendrá que comprobar un barrio de $a$ resp el counterimage de $a$, ya que $f^{-1}((-\infty, a))$ es abrir una y subconjuntos de suave colectores son lisas, de los colectores.
En un barrio de $a$, si ya saben cómo demostrar que $f^{-1}(a) $ es un buen colector, que es más o menos una reformulación de (una de las posibles definiciones de manifold con frontera.
Tenga en cuenta que puede haber valores de $b\in (-\infty, a)$ sucht que $f(b)$ no es regular, por lo que en general no se puede derivar de los resultados acerca de la forma de $f^{-1}((-\infty, a])$ Este es el enfoque de una teoría llamada de la teoría de Morse (donde se asume que los posibles puntos críticos de $f$ son aislados y no degenerada).
