Prueba de expresión con integrales

Question

He tenido problemas para probar la siguiente expresión. ¿Tienes alguna pista para ayudarme?

Permita que$f:[a,b]$ sea una función integrable para la cual$$\int_a^bf(x)dx=6$$ Prove that there exist $ t_1, t_2 \ in (a, b)$ such that $$\int_{t_1}^{t_2}f(x)dx=2$ $

Answer 1

Como$f$ es integrable, la función$F(x)=\int_0^xf(x)\,dx$ es continua. A partir de esto, la linealidad de la integral y el hecho de que$F(b)=6$, se sigue que hay$t_1$ con$b>t_1>a$ tal que$\int_{t_1}^b f(x)\,dx>2$.

Ahora deja $G(x)=\int_{t_1}^x f(x)\,dx$. $G$ es continuo. Además, tenemos$G(t_1)=0$ y$G(b)>2$.

Ahora puede resumir las cosas usando el Teorema del Valor Intermedio.