Matrices anticonmutativas

Question

Si $A$ y $B$ son matrices cuadradas anticommutativas, así que $AB+BA=0$ ¿Cómo es que

a) probar que $ \mathrm {tr}(A)= \mathrm {tr}(B)=0$ y
b) probar que el orden de las matrices es parejo?

Answer 1

Si las matrices son no singulares, entonces escribir $A=-BAB^{-1}$ y tomando la traza, obtenemos $\mathrm{tr}A=-\mathrm{tr}A$ . Por lo tanto, $\mathrm{tr}A=0$ y el procedimiento para $B$ es análogo.

A continuación, calcule el determinante de ambos lados de $AB=-BA$ Esto da como resultado $\mathrm{det}\,A\,\mathrm{det}\,B=(-1)^N\mathrm{det}\,B\,\mathrm{det}\,A$ , donde $N$ representa el tamaño de las matrices. Ahora bien, como el $A,B$ son no singulares, ambos lados de la igualdad son distintos de cero y la igualdad sólo es posible para los pares $N$ .