¿Existe una descripción topológica de la característica combinatoria de Euler?

Question

Hay una colección de definiciones de la "característica combinatoria de Euler", que es diferente de la "característica homotópica de Euler". Describiré algunas de ellas y daré algunas referencias, y luego me preguntaré hasta qué punto se pueden generalizar.

• Un buen lugar para empezar es Teorema de Hadwiger . Definir una "medida Hadwiger" m en R n para ser una cosa que asigna números reales (posiblemente negativos) a subconjuntos (¿bonitos?) de R n de manera que la asignación sea invariante bajo transformaciones rígidas (es decir, isometrías) y satisfaga el principio de "inclusión-exclusión" que m (_A_ ∪ B ) = m (_A_) + m (_B_) - m (_A_ ∩ B ); también se requiere que las medidas de Hadwidger satisfagan algunas propiedades analíticas. Entonces Hadwidger demuestra que el espacio de medidas sobre R n es precisamente ( n +1)-dimensional, y tiene una base m _i con m _i ([0,1] i ) = 1 y m _i (λ A ) = λ i m _i ( A ), donde λ A es el conjunto reescalado por un factor de λ en cada dirección. En particular, m ₀ de un conjunto finito cuenta el número de puntos, y coincide con la característica de Euler para regiones compactas; la función m ₀ es la "característica combinatoria de Euler". No es invariante de la homotecia: m ₀ ([0,1]) = 1 mientras que m ₀ ( R ) = -1. Es multiplicativo.

  Por cierto, el artículo de Hadwiger está en alemán y por eso no puedo leerlo. Aparentemente todo este material está en el libro de Rota "Introducción a la probabilidad geométrica", pero he estado fuera de una biblioteca y no lo he leído todavía. Por lo tanto, no conozco el enunciado preciso de "agradable".

• Schanuel en MR1173024 varias "categorías geométricas". A saber, decir que un subconjunto de R n es un "poliedro" si es el lugar positivo de un número finito de mapas afines a R ; cerrar la colección de poliedros bajo la unión, la intersección y el complemento, y así recuperar la noción de "conjunto poliédrico" (de modo que un conjunto poliédrico es en realidad un par ( n ,_S_) donde S es un subconjunto de R n que satisface ciertas propiedades). Entonces el morfismo de conjuntos poliédricos es una función teórica de conjuntos cuyo gráfico (como subconjunto de R n x R m ) es poliédrica. Entonces es sencillo comprobar que un morfismo es un isomorfismo si es una biyección teórica de conjuntos - los morfismos permiten pegar y cortar.

  O sustituir la palabra "afín" por "polinómico" y recuperar así la noción de "conjunto semialgebraico". O restringir su atención a los conjuntos poliédricos acotados. En cualquier caso, cada una de estas categorías geométricas tiene un producto y un coproducto bien comportados, y por tanto un "Rig de Burnside" (anillo sin negación) cuyos elementos son clases de isomorfismo de objetos. Schanuel calcula cada uno de estos rigs de Burnside, y muestra que el cociente cancelativo universal de cada uno son los enteros; este mapa a Z es la característica combinatoria de Euler.

• Al parecer, también hay definiciones más analíticas. Schanuel en MR842922 (maravilloso, pero sólo intenta desarrollar la intuición y la motivación) sugiere que cada una de las medidas de Hadwiger puede definirse en términos de curvaturas y demás, pero las fórmulas que da sólo tienen sentido para las variedades compactas (con límites, esquinas...).

  Chen (MR1215324) describe la característica combinatoria de Euler con la siguiente integral de diversión: sea f : R → R sea continua excepto para un número finito de discontinuidades de salto y/o removibles, y definir ∫ _Euler f = Σ _{<i>x </i>∈ <strong>R </strong>} [ f(x) - (1/2) (f(x + ) + f(x - )) ]; a continuación, intente calcular las integrales de Euler de las funciones características. El problema es que luego define la versión multidimensional mediante el teorema de Fubini, pero sugiere que sus integrales dependen de una elección de base.

• La definición de la característica combinatoria de Euler es estupenda para los "complejos poliédricos finitos", creo. Por "complejos poliédricos finitos" me refiero a pegar un número finito de poliedros, pero se permite dejar algunas caras abiertas, de modo que, a diferencia de un complejo CW, no todas las celdas deben tener cierre complejo. Entonces puedes calcular la característica de Euler con la fórmula habitual (número de celdas de dimensión par) - (número de celdas de dimensión impar). Creo que se trata de un invariante topológico (¡pero no de homotopía!).

De todos modos, primero, ¿hay referencias que me haya perdido?

En segundo lugar, y más importante, todas las referencias consideran sólo subconjuntos del espacio euclidiano (bueno, Schanuel menciona brevemente el aparejo Burnside de variedades/ C pero sólo calcula un cociente). ¿Por qué? ¿Por qué no hay una descripción topológica intrínseca, o quizás una descripción teórica de los colectores?

En particular, una versión "teórica de la medida" que no se base en incrustaciones en el espacio euclidiano sería genial, ya que presumiblemente daría "medidas" contra las que podríamos integrar funciones suaves. ¿Alguna idea?

Answer 1

un par de comentarios sobre los comentarios de arriba:

1. la combinatoria de euler característica de un definibles por el espacio (en términos generales, a un espacio finito descomposición en finito-dimensional de las células) es un homeomophism invariante, pero no un homotopy invariante. hay una correspondiente homológica definición en términos de borel-moore homología o, si se prefiere, cohomology con locales de los coeficientes. es, de hecho, un invariante de definibles bijections --- que no necesita ser continua.

2. el "polyconvex" juegos son el enfoque combinatorio para "domar" a los conjuntos. si utiliza la o con un mínimo de teoría, entonces usted puede muy generalizar la clase de los espacios por los cuales característica de euler es bien definido.

3. una de las razones para el uso de la combinatoria (a veces llamado "geométrico") de euler característica es que se satisface el de mayer-vietoris principio (o de inclusión/exclusión), sin necesidad de que los espacios compactos. específicamente, $\chi(A \cup B) = \chi(A) + \chi(B) - \chi(A \cap B)$. por lo tanto, se puede tratar a $d\chi$ como finitely-aditivo firmado medida en definibles espacios e integrar edificable funciones.

me disculpo por el arpa en la o con un mínimo de teoría, pero he encontrado que es muy simplificada y generalizada de otra manera torpe de las pruebas. el libro de van den dries sobre el tema es muy elemental y clara.

Answer 2

El enunciado preciso de "agradable" en el Teorema de Hadwiger es "expresable como una unión finita de conjuntos convexos compactos". En su libro Introducción a la probabilidad geométrica Klain y Rota utilizan el término "policonvexo" para referirse a dicho conjunto.

Hay toda una lista de referencias posiblemente relevantes aquí: http://math.ucr.edu/home/baez/counting/

Answer 3

¿Por qué no hay una descripción topológica intrínseca, o quizás una descripción teórica de los colectores?

Al menos en algunos casos, la característica combinatoria de Euler de X es igual a la característica homotópica de Euler de la compactificación de un punto de X menos 1. Por ejemplo, esto es cierto cuando X es compacto (por supuesto) y también cuando X = R^n. Es cierto para todos los subconjuntos "bonitos" de R^1. No sé si funciona cuando X es, por ejemplo, el cuadrado unitario abierto más uno de sus vértices.

Por supuesto, la primera pregunta es si la característica combinatoria de Euler es incluso un invariante de homeomorfismo. También me gustaría saber la respuesta.

Answer 4

Barvinok, en el aulario 1 de su Parque de la Ciudad de Conferencias (reimpreso en IAS/Parque de la Ciudad de Matemáticas de la Serie Volumen 13), define una característica de Euler, que es muy similar a este. Su dominio de definición de conjuntos cuyas funciones de los indicadores se puede escribir como una combinación lineal finita de funciones de los indicadores de los poliedros, y él declara como un ejercicio que puede hacerse extensiva a las combinaciones lineales de funciones de los indicadores de conjuntos convexos.

Con sus convenciones, el chi no es una homeomorphism invariantes, como el chi(\mathbb{R})=1 y chi( (0,1))=-1. No es claro para mí, ¿qué daño podría venir de dejar que la característica de Euler de la línea real ser -1.

Answer 5

el mejor enfoque para el geométrica característica de euler viene de la teoría de la o con un mínimo de estructuras.

la mejor referencia en esta área es el libro "domar a la topología y de la o-un mínimo de estructuras" por lou van den dries. requiere muy poco de historia para entender.

en breve: una junta mínima de la estructura es una colección de álgebras booleanas de subconjuntos de a $R^n$ que satisface una breve lista de axiomas. (el nombre proviene del modelo de la teoría, pero usted no necesita saber cualquier modelo de teoría para entender los resultados)

ejemplos de o-minimal estructuras incluyen el semialgebraic establece, en todo el mundo, subanalytic conjuntos, y (si modificas los parámetros de las definiciones un poco) el seccionalmente lineales los conjuntos.

elementos de una junta mínima estructura de "domesticar" o "definible" conjuntos. asignaciones entre tame conjuntos de domar iff su gráfico es un conjunto de domar.

básicos de resultados relevantes:

cada tame tiene una bien definida la característica de euler.

dos domar conjuntos son "definably homeomórficos" (hay un domar bijection entre ellos --- no necesariamente continua!) iff tienen la misma dimensión y característica de euler.

(sí, escribí iff - esta es la primera sorpresa en este tema)

uno puede por lo que esta para más general de colectores, así.

relativa a la integración con respecto a la característica de euler:

1) en el o-marco mínimo, se pueden integrar todos los edificable funciones, como señaló viro y schapira en la década de 1980, basada en obras de macpherson y kashiwara en la década de 1970. estos resultados se derivan de la teoría de la gavilla. a pesar de ser más difícil que el enfoque combinatorio, todas estas pruebas son "naturales" y no depende de la "suerte".

2) si desea integrar la no edificable (p. ej., suave) integrands, la teoría de chen (realmente debido a rota) no -- que la integral se desvanece en todas continua integrands.

3) baryshnikov y ghrist extensiones de la integral definida integrands (véase 2009 arxiv papel). hay dos de estas extensiones, y son duales. hay conexiones profundas con morse en la teoría, pero la integral operadores son, lamentablemente, no lineal, y el teorema de fubini no se sostiene en todos los casos.