Mi prueba ɛ-δ Definición de un límite sólo refuta el límite... ¿Qué he hecho mal?

Question

Mientras se intenta demostrar que $$\lim_{x\to8} \sqrt[3]{(3x+3)} = 3 $$ Se me ocurrió lo siguiente como prueba: $$\lim_{x\to8} \sqrt[3]{(3x+3)} = 3 (>0)(>0)(x)|x-8|<|\sqrt[3]{(3x+3)}-\sqrt[3]{(27)}|$$ $$|\sqrt[3]{(3x-24)}||\sqrt[3]{(3(x-8))}||\sqrt[3]{(3)}|$$ Pero fue entonces cuando me di cuenta de que aunque $$If =9, \;then \;3(f(x_{0}-)y_{0}-)$$ que $$If =9, \;then \;3¬(f(x_{0}+)y_{0}+)$$ y así mi prueba se desmorona. ¿Dónde he cometido un error? (¿o tal vez me estoy equivocando y mi prueba es correcta?)

Gracias de antemano.

Nota: No estoy 100% seguro de haber utilizado correctamente todos estos símbolos matemáticos...

EDITAR: Gracias a los comentarios que la maravillosa gente de math.stackexchange.com ha proporcionado a continuación, he llegado a la conclusión de que $$|\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}| |\sqrt[3]{(a-b)}|$$ Aun así, la expresión podría ser verdad, pero no lo son siempre igual. Por lo tanto, debo reevaluar este problema, y actualizaré esta pregunta si encuentro otra solución (correcta).

Si alguien sabe cómo encontrar la prueba correcta, por favor, hágame saber cuál es.

Gracias.

SEGUNDA EDICIÓN: He refinado mi prueba a esto: $$\lim_{x\to8} \sqrt[3]{(3x+3)} = 3 (>0)(>0)(x)|x-8|<|\sqrt[3]{(3x+3)}-\sqrt[3]{(27)}|$$ $$|\sqrt[3]{(3x-24)}-\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}||\sqrt[3]{(3x-24)}|$$ $$|\sqrt[3]{(3(x-8))}||\sqrt[3]{(3)}|$$ Sin embargo, me sale la misma respuesta. A menos que $$\sqrt[3]{(3x+3)}-\sqrt[3]{27} \sqrt[3]{3x+3}-\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{27}$$ No tengo ni idea de lo que es todavía se equivoca al respecto.

De nuevo, ¡gracias por ayudar!

TERCERA EDICIÓN: ¡Lo he resuelto! El intento anterior tiene el mismo problema que el primero, sólo que cometí el error de una manera diferente. Aquí está el real respuesta, que en realidad funciona. $$\lim_{x\to8} \sqrt[3]{(3x+3)} = 3 (>0)(>0)(x)|x-8|<|\sqrt[3]{(3x+3)}-3|$$ $$|\sqrt[3]{3x-24+27}-3||\sqrt[3]{3(x-8)+27}-3|\sqrt[3]{3+27}-3$$ Y eso es todo. ¡Funciona! ¡Gracias!

Answer 1

Como se señala en los comentarios,

su error fue pasar de $|\sqrt[3]{3x+3}-\sqrt[3]{27}|\le\epsilon$ a $|\sqrt[3]{3x-24}|\le\epsilon$ .

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Una forma de encontrar un $\delta$ que funcione para un determinado $\epsilon>0$ es utilizar

$\displaystyle\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\frac{A-B}{A^{2/3}+A^{1/3}B^{1/3}+B^{2/3}}\;\;$ con $A=3x+3$ y $B=27$

Esto da $\displaystyle\big|\sqrt[3]{3x+3}-3\big|=\left|\frac{3x-24}{(3x+3)^{2/3}+(3x+3)^{1/3}3^{1/3}+3^{2/3}}\right|=\frac{3|x-8|}{|(3x+3)^{2/3}+(3x+3)^{1/3}3^{1/3}+3^{2/3}|}$ .

Si elegimos $\delta\le9$ entonces $|x-8|<\delta\implies x>-1\implies 3x+3>0$ ,

entonces $\displaystyle\big|\sqrt[3]{3x+3}-3\big|<\frac{3|x-8|}{3^{2/3}}<3|x-8|$ . Por lo tanto, también tenemos que elegir $\delta$ para que $3\delta<\epsilon$ .

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Un enfoque alternativo sería utilizar

$\big|\sqrt[3]{3x+3}-3\big|<\epsilon\iff3-\epsilon<\sqrt[3]{3x+3}<3+\epsilon\iff (3-\epsilon)^3<3x+3<(3+\epsilon)^3\iff$

$27-27\epsilon+9\epsilon^2-\epsilon^3<3x+3<27+27\epsilon+9\epsilon^2+\epsilon^3\iff$

$24-27\epsilon+9\epsilon^2-\epsilon^3<3x<24+27\epsilon+9\epsilon^2+\epsilon^3\iff$

$8-9\epsilon+3\epsilon^2-\frac{\epsilon^3}{3}<x<8+9\epsilon+3\epsilon^2+\frac{\epsilon^3}{3}$

Ahora bien, si dejamos que $d_1=8-(8-9\epsilon+3\epsilon^2-\frac{\epsilon^3}{3})=9\epsilon-3\epsilon^2+\frac{\epsilon^3}{3}$

$\hspace{.6 in}$ y $d_2=(8+9\epsilon+3\epsilon^2+\frac{\epsilon^3}{3})-8=9\epsilon+3\epsilon^2+\frac{\epsilon^3}{3}$ ,

entonces podemos comprobar que $d_2>d_1>0$ así que dejar que $\delta=d_1=9\epsilon-3\epsilon^2+\frac{\epsilon^3}{3}$

da una $\delta>0$ tal que $0<|x-8|<\delta\implies |\sqrt[3]{3x+3}-3|<\epsilon$