Pregunta sobre anillos locales regulares

Question

Permita que$A$ sea un anillo local regular conmutativo de dimensión$d$ con un ideal máximo$\mathcal m$ y$a \in A$ un elemento del anillo.

Supongamos que$\mathcal m \cdot a \subset \mathcal m^2$, es decir, si multiplico el elemento$a$ por un elemento arbitrario de$\mathcal m$, entonces estoy en el ideal cuadrado de$\mathcal m$.

¿Puedo concluir de esto que ya$a \in \mathcal m$?

Answer 1

Si$a \notin \mathfrak{m}$, entonces$a$ debe ser una unidad, entonces tendría$\mathfrak{m} \subset \mathfrak{m}^2$, lo cual no es posible. Asi que $a \in \mathfrak{m}$.

Editar: Como señaló Matt E., este argumento es válido a menos que$\mathfrak{m} = 0$, en cuyo caso tendríamos$\mathfrak{m} = \mathfrak{m}^2$.