Dado$f(0)=f(1)=0$ y$\int_{0}^{1} f^2(x)dx=1$, evalúe$\int_{0}^{1} xf(x)f'(x)dx$

Question

Q. Supongamos $f$ es un verdadero valorado continuamente diferenciable de la función en $[0,1]$ $f(0)=f(1)=0$ y $$\int_{0}^{1} f^2(x)dx=1.$$ Find the value of $\int_{0}^{1} xf(x)f'(x)dx$?

Mi planteamiento :

Deje $I(x)$ ser la antiderivada de $xf(x)f'(x)$ $G(x)$ ser la antiderivada de $f^2(x)$ aquí $f^2(x) = (f(x))^2$. Queremos calcular el $I(1)-I(0)$ y sabemos que $G(1)-G(0)=1.$

A continuación, usando integración por partes, $$\begin{align} I(x)&=xf(x)\int f'(x)dx-\int \left(\int f'(x)dx\right)\left(\frac {d}{dx} xf(x)\right)dx \\ &=xf^2(x)-\int f(x)(xf'(x)+f(x))dx\\ &=xf^2(x)-I(x)-\int f^2(x)dx \\ \Rightarrow 2I(x)&=xf^2(x)-\int f^2(x)dx \\ \Rightarrow I(x)&=\frac {xf^2(x)-\int f^2(x)dx}2\\ &=\frac {xf^2(x)-G(x)}2. \end{align}$$

$\displaystyle \therefore I(1)-I(0)=\frac {1f^2(1)-G(1)}2 - \frac {0f^2(0)-G(0)}2=-\frac {G(1)-G(0)}2=-\frac 12.$

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En mi enfoque de arriba, yo no aplicar la hipótesis de $f(0)=0$ cualquier lugar. Yo no entiendo de donde me utilizó el hecho de que $f$ es continuamente una función derivable en a $[0,1]$. Así que creo que mi solución es ambiguo.

1. ¿Cuáles son los errores en mi prueba?
2. Pueden las dos hipótesis de la que he hablado ser eliminados de forma segura?

Answer 1

La hipótesis sobre$f(0)$ es innecesaria aquí. También tenga en cuenta que solo necesitamos$f$ para ser derivables con derivados integrables, por lo que$C^1$ definitivamente no es necesario, pero suficiente ya que cualquier función continua en$[0,1]$ es integrable en$[0,1]$. Poner $I = \int_0^1xf(x)f'(x)\,dx$. Mediante la integración por partes, \begin{align*} I &= xf(x)^2\bigg|_0^1 - \int_0^1f(x)[f(x) + xf'(x)]\,dx \\ &= f(1) - \int_0^1 f(x)^2\,dx - \int_0^1xf(x)f'(x)\,dx \\ &= -1- I. \end {align *} Por lo tanto$2I = -1$, entonces$I = -1/2$.

Otra forma de hacer esto integral es notar que, según la regla de la cadena,$f(x)f'(x) = \frac{1}{2}\big(f(x)^2\big)'$. Integración por partes, \begin{align*} I = \frac{1}{2}\bigg[xf(x)^2\bigg|_0^1 - \int_0^1f(x)^2\,dx\bigg] = \frac{1}{2}[0 - 1] = -\frac{1}{2}. \end {align *}

Answer 2

Deje$u = f^2(x)$,$dv = dx$ luego podemos realizar la integración por partes en la integral original

ps

Por lo tanto$$ \int_0^1 f^2(x)\ dx = x\ f^2(x) \bigg|_0^1 - \int_0^1 x (2f(x) f'(x))\ dx = 1 $ $

Los valores de la función son inconsistentes en el título y la pregunta de tu publicación. Si$$ \int_0^1 xf(x)f'(x)\ dx = \frac{1}{2}\left(x\ f^2(x) \bigg|_0^1 -1\right) $ que la respuesta es$f(1) = 1$, si$0$, entonces es$f(1)=0$. En cualquier caso, el valor de$-1/2$ no es importante.