Simple límite superior en la probabilidad de que la suma de $n$ dados de rollos es igual a la mayoría de la probabilidad total

Question

Supongamos que $n$ $s$-cara (y justo) dados y rodar, y considere el valor más probable de su total, va a tomar. Hay un sencillo / fácil de estado-límite superior en la probabilidad de que este total se rodó?

Sé que usted puede vinculado esto con precisión el uso de funciones de generación, sino a utilizar en la prueba que estoy trabajando requiere sumar más de esta probabilidad para un rango de (grandes) $n$ de los valores, que se hace demasiado complicado. Me imagino que también se puede aproximar utilizando algunos de distribución, pero es para un cripto prueba de lo que realmente necesito un límite superior. Estoy crudamente superior de delimitación de este con $1/s$ en el momento de que todos $n$. De esta manera se sigue por inducción sobre n. Dejando $X_i$ denotar la distribución de la $i$th tirada de dados

Para $n = 1, Prob[X_1 = z] = 1/s$ todos los $z \in [1, s]$, por lo que el caso base se mantiene.

Asumir cierto para $n=k$, lo $max_{z \in [k, ks]} Prob[\sum_{i = 1}^k {X_i} = z] \leq 1/s$.

A continuación, para $n = k+1$, y cada una de las $z \in [k+1, (k+1)s]$:

$Prob[\sum_{i = 1}^{k+1} {X_i}=z$] $ = \sum_{h \in [k, ks]} Prob[X_{k+1} = z - \sum_{i = 1}^k X_i | \sum_{i = 1}^k X_i = h]Prob[\sum_{i = 1}^k X_i = h]$
$\leq \sum_{h \in [z - s, z-1]}1/s^2 = 1/s$,
donde la última desigualdad se sigue entonces, por la hipótesis de inducción $Prob[\sum_{i = 1}^k X_i = h]\leq 1/s$ $Prob[X_{k+1} = z - h] = 1/s$ si $h \in[z - s, z-1]$ $0$ lo contrario.

Me preguntaba si hay alguna más estrecha (para grandes $n$), pero todavía simple límite superior?

Answer 1

Una buena aproximación para un gran $n$ es para nota (reescalado) la convergencia en distribución a una distribución normal, donde la varianza de la suma es$n\frac{s^2-1}{12}$, por lo que la probabilidad de que un valor cercano a la expectativa de $n\frac{s+1}{2}$ sobre $\frac{1}{2\pi \sigma^2}=\sqrt{\frac{6}{\pi n(s^2-1)}}$.

Si desea simplificar esto y quitar el $-1$, en el peor de los casos va a ser al$s=2$, en cuyo caso $s^2-1 = \frac34 s^2$ haciendo la aproximación $\sqrt{\frac{8}{\pi}}\frac1{s\sqrt n}$. Desde $\sqrt{\frac{8}{\pi}} \approx 1.596$, una mayor simplificación en el lado conservador es $\dfrac{1.6}{s \sqrt n}$

Para $s=2$ esta es una muy buena límite superior como $n$ de aumento para el verdadero valor de $\frac{n \choose \lfloor n/2 \rfloor}{2^n}$: $s=2$ $n=100$ da $0.08$ cuando la verdadera probabilidad de que la modalidad de $0.079589$. Para mayor $s$ es sólo una pequeña multiplicativo de un valor demasiado alto: por ejemplo, con $s=6$ $n=36$ da acerca de $0.044444$ para la probabilidad de que el modo cuando el valor real es de alrededor de $0.038761$.