Infinito expresión decimal de los números racionales

Question

Me piden demostrar que si un no-entero número racional está escrito como un no reductible fracción $a/b$ $a,b $co-primos y $b$ no es múltiplo de 2 o 5, entonces la expresión decimal del número es infinito.

Puedo llegar tan lejos como la demostración de que si $r$ es un número racional con expresión decimal finito,entonces la expresión decimal debe ser de la forma $\frac{a_110^{n-1}+...+a_n}{2^n5^n}$ pero altought esto demuestra que la expresión decimal es finita, creo que no es una buena prueba, ya que no voy a usar ninguna de las hypothestis.

Podría usted ayudarme y darme algunos consejos?

Answer 1

Sugerencia: Suponga que tiene que $x$ tiene un decimal finito de expansión, lo que nos permite escribir $$x=\sum_{i=m}^{n}a_i\cdot 10^i$$ para algunos $n,m$$a_m,a_{m-1},\dots, a_n$. Entonces tenemos que $$10^{|m|}x\in\mathbb{Z}$$ Por el contrario, si $10^{p}x\in \mathbb{Z}$ algunos $p$, entonces tenemos que $10^{p}x$ tiene un decimal finito de expansión, es decir, $$10^{p}x=\sum_{i=m}^{n}a_i\cdot 10^{i}$$ y así $$x=\sum_{i=m}^{n}a_i\cdot 10^{i-p}$$ tiene un decimal finito de expansión. Así

$x$ ha decimal finito de expansión) si y sólo si $10^{m}x\in\mathbb{Z}$ algunos $m\in\mathbb{Z}$.

Answer 2

Todo lo que necesitas es un poco de lógica. La sentencia dada es equivalente a

si $a/b$ no es reducible (es decir, $a$ $b$ son relativamente primos) y no es un número entero, decimal, $a/b$ es finito, entonces $b$ es un múltiplo de a $2$ o $5$.

Casi han demostrado esto. Si el decimal es finita, a continuación, que han demostrado $$\frac ab=\frac{a_110^{n-1}+...+a_n}{2^n5^n}\ .$$ Si el numerador y el denominador tiene factores comunes, cancelar ellos para conseguir $b$ en el denominador: a continuación, $b=2^l5^m$ algunos $l,m$ y desde $b>1$, es un múltiplo de a $2$ o $5$.

Answer 3

Si cada terminación decimal, se escribe como una fracción $a/b$, $b$ divisible por $2$ o $5$, luego de una fracción de $a/b$ donde $b>1$ no es divisible por $2$ o $5$ no debe corresponder a un decimal finito. Pero tiene algunas decimal expansión, por lo que debe ser no termina.