Demuestra que el Límite es igual a 0.

Question

Realmente estoy luchando con esta pregunta. He estado pensando en ello durante un tiempo, pero este es uno de esos en los que realmente no tengo mucha intuición sobre qué hacer.

Problema 3. Demostrar que si el límite $\lim_{x\to +\infty}f(x) =: L$ existe (finito o infinito) y la integral impropia. $$\int_a^{+\infty}f(x) dx$$ es convergente, entonces $L = 0$ .

Estos son algunos datos que conozco y que creo que quizás debería utilizar.

Hechos/Conocimientos que conozco: La integral anterior se puede reescribir como:

$$\int_a^{\infty}f(x)dx = \lim_{A\to \infty}\int_a^{A}f(x)dx$$

Sabemos que el límite a medida que x va al infinito de $f(x)=L$ . Necesito demostrar de alguna manera que el límite L es igual a 0. Si tomo la integral obtengo $\lim_{A \to \infty} F(A)-f(a)$ y sé que esto no es igual al infinito ya que la integral converge. No estoy seguro de si esto está en el camino correcto o qué hacer a continuación.

Estaba pensando que tal vez en su lugar podría utilizar el Criterio de Cauchy para llegar a una prueba. Nota: No estoy acostumbrado a hacer pruebas con integrales impropias.

Teorema 1 (Criterio de Cauchy). La integral impropia (1) converge si y sólo si para cada $\epsilon > 0$ hay un $M\geqslant a$ de modo que para todos $A, B \geqslant M$ tenemos

$$\Bigg|\int_A^B f(x) dx\Bigg| < \epsilon$$

Answer 1

Supongamos que $L\in(0,\infty)$ , entonces para algunos $M$ tenemos $f(x)>\dfrac{L}{2}$ para todos $x\geq M$ entonces $\displaystyle\int_{M}^{\infty}f(x)dx\geq\int_{M}^{\infty}\dfrac{L}{2}dx=\infty$ .

Si $L\in(-\infty,0)$ , entonces para algunos $N$ tenemos $f(x)<\dfrac{L}{2}$ para todos $x\geq N$ entonces $\displaystyle\int_{N}^{\infty}f(x)dx\leq\int_{N}^{\infty}\dfrac{L}{2}dx=-\infty$ .

Un razonamiento similar se aplica para el caso de que $L=\infty$ o $L=-\infty$ . Por ejemplo, $L=\infty$ : Simplemente elija $M'$ tal que $f(x)>1$ para todos $x\geq M'$ la integración de ambos lados en $[M',\infty)$ para obtener la contradicción.