¿Cómo se explican la reflexión y la refracción de forma clásica y microscópica?

Question

Estaba intentando explicar algo sobre el ángulo de Brewster y me di cuenta de que no entiendo del todo cómo funcionan la reflexión y la refracción a nivel microscópico y clásico.

Consideremos una onda de luz polarizada plana que incide sobre un vidrio. Las cargas en el interior del vidrio oscilan de alguna manera, de modo que la onda original se cancela y se produce una onda refractada y otra reflejada. Pensando sólo en cómo las cargas producen radiación, esto es bastante confuso. Empezamos con un montón de cargas que oscilan todas en la misma dirección (presumiblemente), y de alguna manera las cargas producen radiación exactamente en tres direcciones.

Además, las cargas en la masa ni siquiera oscilan en la dirección del campo eléctrico del rayo incidente. Oscilan a lo largo del campo del refractado rayo.

Este complicado patrón se produce porque hay dos corrientes distintas: las corrientes de superficie y las corrientes de masa. Me gustaría saber cómo estas dos corrientes cancelan colectivamente el rayo incidente y producen el rayo reflejado y refractado. ¿En qué dirección se mueven las corrientes superficiales? ¿Producen el rayo reflejado y anulan el rayo incidente por sí solas, o también contribuye la masa? ¿Cómo se inicia todo este proceso de forma dinámica para un paquete de ondas finito? ¿Las cargas de la masa oscilan siempre a lo largo del rayo refractado o algunas de ellas "sienten" el rayo incidente? Todo esto queda oculto en el tratamiento típico que parte de las ecuaciones de Maxwell en medios y condiciones de contorno, que eluden todo lo relativo a lo que hacen realmente las cargas.

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Esto no es un duplicado de ninguna de las muchas preguntas sobre reflexión y refracción, porque:

• No me interesa una explicación cuántica, porque deberíamos ser capaces de entenderlo de forma clásica.
• No me interesa una explicación a partir del principio de Huygens, ya que es demasiado general -- nunca utiliza el hecho de que las ondas electromagnéticas están polarizadas y son transversales. Creo que la estructura de la polarización aquí es importante y la respuesta puede ser diferente para $s$ -polarizado y $p$ -ondas polarizadas. Tampoco explica el mecanismo por el que se cancela la onda incidente.
• No me interesa nada que utilice las ecuaciones de Fresnel, o realmente nada que parta de las condiciones de contorno electromagnéticas. Estas son sólo consecuencias de cómo se mueven las cargas en el cristal, así que no deberíamos necesitarlas.
• No me interesa una explicación que sólo funcione en incidencia normal; lo que me confunde son las tres direcciones distintas en incidencia oblicua.

¡Realmente espero que haya una explicación agradable y totalmente clásica aquí, a nivel de los cargos!

Answer 1

Aunque has declarado que no te interesa el principio de Huygens, quiero añadir una nota sobre esta explicación. Necesitaré en mi respuesta la expresión para el campo eléctrico de un dipolo radiante

$$\boldsymbol{\rm E}\left(\boldsymbol{r},t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{\theta}$$

Esta expresión supone que el dipolo oscila en el $\hat{z}$ dirección. Ahora mira, por ejemplo, esta imagen

tomado de aquí . Esta ilustración parece descartar la polarización de la onda entrante (como has dicho), pero si lo piensas más, resulta que no es así. La radiación en el plano de incidencia es circular sólo para $s$ -luz polarizada ya que entonces cada dipolo está oscilando en el $z$ dirección (dentro y fuera de la página) e irradiando un campo dado por

$$\boldsymbol{\rm E}\left(r,\theta=\frac{\pi}{2},\varphi,t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{z}$$

independiente de $\varphi$ y $s$ -polarizado también. Si, por el contrario, se quiere tratar $p$ -luz polarizada, entonces cada punto de la red debería irradiar como en esta imagen

tomado de aquí y definitivamente tendrá otras consecuencias de la $s$ -dipolos polarizados. Un ejemplo popular es la existencia del ángulo de Brewster, que es el resultado de que el dipolo no irradia en su eje de oscilaciones. También, como antes, se puede ver que la polarización de la radiación de campo lejano es paralela a la dirección de las oscilaciones del dipolo. Esto significa que el $p$ -se mantiene la polarización.

Answer 2

Parece que lo que realmente pides se responde con el teorema de extinción de Ewald-Oseen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ewald%E2%80%93Oseen_extinction_theorem

La derivación canónica está en Born y Wolf.

Answer 3

Consideremos una onda luminosa polarizada plana que incide sobre un vidrio. Las cargas del interior del vidrio oscilan de alguna manera, de modo que la onda original se cancela y se producen tanto una onda refractada como una reflejada.

Empezamos con un montón de cargas que oscilan todas en la misma dirección (presumiblemente), y de alguna manera las cargas producen radiación en exactamente tres direcciones.

¿Es incorrecta la suposición de que todas las cargas del plano oscilan en la misma dirección? ¿Sucede algo diferente justo en la interfaz? De lo contrario, ¿cómo es posible que las cargas que oscilan todas en la misma dirección produzcan radiación en tres direcciones, en lugar de una, dos o infinitas?

Todos los osciladores oscilan en la misma dirección, lo sabemos por la teoría macroscópica donde la polarización tiene la misma dirección en todas partes.

El efecto neto parece ser la cancelación de la onda primaria en el medio y la producción de otra onda de diferente longitud de onda y dirección. (Pero esto es sólo un efecto aparente en la teoría macroscópica. No significa que los osciladores en el medio no experimenten la fuerza debida a la onda primaria).

Esto también ocurre sólo en circunstancias especiales: una frontera que es larga y suave; el medio es lo suficientemente denso, por lo que los osciladores están cerca unos de otros para que la dispersión sea limitada.

Si el límite fuera rugoso o de longitud comparable a la longitud de onda, la radiación resultante sería probablemente mucho más compleja que dos ondas. Además, si el medio fuera un gas de baja densidad o polvo, no habría una única onda plana refractada, sino que la radiación sería más difusa en todas las direcciones.

Sé que no te interesan las razones macroscópicas, pero son la explicación más fiable, ya que no utilizan ningún modelo particular del medio. Son la información orientativa que hay que utilizar a la hora de establecer y analizar un modelo microscópico.

Las condiciones anteriores se traducen en detalles del modelo microscópico: los osciladores están situados en medio espacio, están distribuidos con una densidad uniforme lo suficientemente alta como para que las distancias mutuas sean mucho menores que la longitud de onda; sus posiciones están limitadas por una frontera plana.

No sé cómo analizar las interacciones mutuas de muchas partículas en esas condiciones y responder a la pregunta: por qué en la descripción macroscópica la onda primaria no está presente y por qué la onda refractada tiene diferente longitud de onda y dirección. Parte de la respuesta es encontrar una conexión razonable entre el campo microscópico y el campo macroscópico para este tipo de modelo, lo cual no es fácil (tienen diferentes longitudes de onda y el campo macroscópico tiene que imitar el campo de fuerza experimentado por los osciladores).

Pero es plausible que si los osciladores están lo suficientemente cerca y tienen una densidad uniforme (índice de refracción uniforme) y son excitados por una sola onda plana (onda primaria), entonces las ondas secundarias elementales se suman con fases aleatorias y tienden a anularse entre sí excepto en una dirección, donde se reforzarán mutuamente.

Es similar a cómo la difracción en rejillas especiales hace que la radiación se transmita sólo en determinadas direcciones, o a los conjuntos de antenas con bloqueo de fase, que están diseñados para irradiar en unas pocas (únicas) direcciones deseadas.

Answer 4

Como es típico en estos problemas, vamos a suponer una solución y luego demostrar que satisface las ecuaciones de Maxwell. Tendremos la interfaz del vacío y un medio en el $x=0$ plano. El campo eléctrico se tomará como

$$ \vec{E}(\vec{r_{x<0}}, t) = \exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \left\{0, 0, \exp(i k x\cos\theta) + r \exp(-i k x\cos\theta) \right\} $$

es decir, la suma de la onda incidente y reflejada en el vacío. Al otro lado de la frontera será

$$ \vec{E}(\vec{r_{x>0}}, t) = \exp(-i \omega \tau) \left\{0, 0, \exp(i (x k_x + y k_y)\right\} $$

es decir, la onda refractada. La correspondiente $\vec{B}$ los campos se encuentran fácilmente desde $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ .

$$ \vec{B}(\vec{r_{x<0}}, t) = \frac{k}{\omega}\exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \times \\ \left\{(\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\sin\theta , (-\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\cos\theta, 0 \right\} $$

$$ \vec{B}(\vec{r_{x>0}}, t) = \frac{1}{\omega}\exp(i(k_x x + k_y y - \omega \tau)) \left\{k_y t, k_x t, 0\right\} $$

Al coincidir con el $\vec{E}$ campos en $x=0$ encontramos $t=1+r$ y $k_y = k \sin\theta$ . Al igualar los campos magnéticos también encontramos

$$ t = \frac{2k\cos\theta}{k_x + k\cos\theta} $$

Con una cierta inspección podemos darnos cuenta de que hemos llegado a una posible solución válida que consta de tres ondas y satisface las ecuaciones de Maxwell. Pero, ¿por qué tiene que ser así? ¿Por qué no podemos tener $r=0, t=1, k_x=k \cos\theta$ ? El vector de onda incidente está dado (es decir $\omega/k=c$ y $\theta$ se define).

Necesitamos relacionar el vector de onda dentro de un medio con la frecuencia y las propiedades del material. Un enfoque clásico dice que nuestro medio es una mezcla algo polarizable de portadores de carga negativos y positivos que pueden ser desplazados por un campo eléctrico, opcionalmente con fricción y una fuerza restauradora. Si unimos la ecuación de un oscilador armónico con dos de las ecuaciones de Maxwell, obtenemos

$$ k \vec{P} + \gamma \dot{\vec{P}} + m \ddot{\vec{P}} = q^2 \vec{E} $$

$$ -\frac{\partial\vec{B}}{\partial x} = \mu_0 \dot{\vec{P}} + \dot{\vec{E}}/c^2$$

$$ \frac{\partial \vec{E}}{\partial x} = -\dot{\vec{B}} $$

Donde $q$ es la densidad de carga efectiva (depende de la frecuencia, pueden ser los electrones de la cáscara, pueden ser los iones, etc), $k, \gamma, m$ son las constantes efectivas de muelle, amortiguación y masa normalizadas a la unidad de volumen. La solución en estado estacionario de este conjunto de ecuaciones nos dará, para un determinado $\omega$ un vector de onda que generalmente es diferente de $\omega/c$ Así que $k_x$ será generalmente diferente de $k \cos\theta$ y, por tanto, una solución para una onda que incide en una superficie necesitará necesariamente una onda refractada y otra reflejada.

No debería ser muy difícil reproducir esta lógica para un $p$ onda polarizada.