Los ángulos del triángulo ABC satisfacer A = 3B. ¿Cuál es el mínimo posible de perímetro de ABC asumiendo sus lados son números enteros.

Question

Los ángulos del triángulo $\bigtriangleup ABC$ satisfacer $\measuredangle A = 3* \measuredangle B$. ¿Cuál es el mínimo posible de perímetro de $ \bigtriangleup ABC$ suponiendo que sus longitudes son enteros.

Este es un problema que estaba en un paquete que hemos recibido en nuestro problema-solución club en la escuela. Aquí es lo que tengo hasta ahora

El más pequeño posible triángulo cuyos lados son todos los números enteros serían $(1,1,1)$ con perímetro, $P = 3$. La más pequeña a la derecha del triángulo sería $(3,4,5)$$P = 12$. Dado el triángulo rectángulo tiene los ángulos $(30,60,90)$, cumple con las condiciones para ser el triángulo que necesitamos. A partir de esto, he deducido que, $$3 < P_{ABC} \leq 12$$ A partir de aquí he ido de caso por caso, $P = 4$, $P= 5$, y así sucesivamente para ver si hay una suma de tres números enteros que iba a hacer un triángulo. He utilizado el triángulo de la desigualdad para deshacerse de cualquier suma que no hacer un triángulo y si era posible hacer yo triángulo he calculado los ángulos. Ir a través de estos casos no he encontrado un triángulo que cumpla con la condición, por lo que creo que la más pequeña posible perímetro es 12. Estaba curioso por saber si alguien tiene otra forma de hacer este problema, gracias

EDIT: Como Oscar señaló estoy mal con mi supuestos así que estoy de vuelta a la mesa de dibujo

Answer 1

Deje $D$ en el segmento de $\overline{BC}$ tal que $\angle DAB = \angle B$. Entonces claramente: (1) $\overline{DB} = \overline{DA}$$\overline{DC} = \overline{AC}$.

Suponga que $\angle B = \alpha$. A continuación,$\angle CDA = 2\alpha$. También, asumir $\overline{CD} = x$; $\overline{AD} = y$ y $\overline{AB} = z$.

Entonces tenemos $$ \begin{aligned} y &= 2x\cos 2\alpha = 2x(2\cos^2\alpha - 1);\\ z &= 2y\cos \alpha. \end{aligned} $$

Obviamente, los tres lados son todos los números enteros si y sólo si $x, y$ $z$ son todos los números enteros. Por lo tanto $\cos \alpha \in \mathbb Q$. También sabemos que $\alpha < 45^\circ$ ya que la suma de los grados de los tres ángulos son sólo $180^\circ$. Esto implica $\cos \alpha > \frac{\sqrt2}2$.

Supongamos $\cos \alpha = \frac{p}{q}$ donde $p$ $q$ son coprime enteros. A continuación,$q \geq 4$.

Tenga en cuenta que cuando se $\cos \alpha = \frac 34$, consigue $\cos 2\alpha = \frac 18$ y, por tanto, $x = 8, y=2$ $z=3$ es una solución, dando un perímetro de 21. Me dicen que este es el óptimo. Para mostrar esto usted necesita encontrar una manera de "búsqueda exhaustiva de todos los esperanzados $p$ $q$" y argumentan que el perímetro no puede ser menor.

Answer 2

Hw Chu conjetura es correcta, el triángulo con lados de $x=8,x+y=10,z=3$, perímetro= $21$ es mínima.

Re-etiquetar $x+y$$w$. A continuación, de la Ley de los Senos

$x=D\sin \alpha$

$w=D\sin 3\alpha$

$z=D\sin 4\alpha$

El uso de múltiples ángulo fórmulas obtenemos entonces las proporciones

$w/x=(\sin 3\alpha)/(\sin \alpha)=4\cos^2 \alpha-1$

$z/x=(\sin 4\alpha)/(\sin \alpha)=4\cos\alpha(2\cos^2 \alpha-1)$

Estos son racionales si $\cos\alpha$ es racional, Hw siguiente del requerimiento, y los lados positivos requieren $\cos\alpha>(\sqrt{2})/2$. Conecte $\cos\alpha=(p/q)$ $p,q$ un par de relativamente primos de los números enteros y $q\ge 4$ encontrar el lado positivo requisito. El perímetro $\Pi$ se determina a partir de la anterior:

$\Pi=\frac{4xp(2p-q)(p+q)}{q^3}$

El mínimo número entero perímetro (que se vuelve a dar todo de número de lados), a continuación, requiere

$x=(q^3)/g$

$g=gcd(4p(2p-q)(p+q),q^3)$

Entonces

$\Pi=\frac{4p(2p-q)(p+q)}{g}>(2q^3)/g$

donde la desigualdad viene de poner $p/q>(\sqrt{2})/2$.

Utilizando el polinomio resultantes $g$ se encuentra para ser un divisor de a $32$. Entonces si $q$ es impar, $g=1$$\Pi>2q^3$. Con la extraña $q$ tener al menos $5$ esto significa $\Pi>250$. El mínimo real para este caso se obtiene con $\cos\alpha=(4/5),x=125,w=195,z=112,\Pi=432$.

Si $q$ es incluso, a continuación, $g$ es mayor que $1$. Sin embargo, tenga en cuenta que $p$ es impar, y luego:

1) Si $q$ es un múltiplo de a $4$ $4p(2p-q)(p+q)$ es un múltiplo de a$8$, pero no de $16$. A continuación,$g=8$.

2) Si $q$ es el doble de un número impar, a continuación, $4p(2p-q)(p+q)$ es un múltiplo de a $16$ pero(entre los poderes de $2$) $q^3$ es sólo un múltiplo de $8$. De nuevo $g=8$.

Así que incluso $q$, $\Pi>(q^3)/4$ significado para el mínimo $q=4$, $\Pi>16$ en consonancia con el Hw del triángulo donde $\Pi=21$ (que es la única solución con los lados positivos para $q=4$). Para mayor incluso $q$, $\Pi>(6^3)/4=54$ demostrando Hw del triángulo mínimo.