Prueba

Question

Estoy tratando de demostrar que la suma de números de Fibonacci' recíprocos es menor que 4, que es: $${\sum_{n=1}^\infty {1\over F_n}} <4$$ Se me hace confuso porque la única información que yo sé acerca de los números de Fibonacci que pueden ser útiles son sus recurrencia de la relación y la fórmula general. Pero cuando se trata con recíprocos, he encontrado la info difícil de usar.

También he pensado en la inducción: tal vez convertir este en: $${\sum_{n=1}^\infty {1\over F_n}} <4-A$$

cuando Una está relacionada con $F_n$. Pero este método también parece ser que no funciona.

Podría alguien por favor darme algunos consejos?

Answer 1

$$S={1\over1}+{1\over1}+{1\over2}+{1\over3}+{1\over5}+{1\over8}+\cdots=2+{1\over1+1}+{1\over1+2}+{1\over2+3}+{1\over3+5}+\cdots\\\lt2+{1\over1+1}+{1\over1+1}+{1\over2+2}+{1\over3+3}+\cdots\\ =2+{1\over2}\left({1\over1}+{1\over1}+{1\over2}+{1\over3}+\cdots \right)=2+{1\over2 S}$$

por lo ${1\over2}S\lt2$ o $S\lt4$.

Comentario: Como B. Mehta señala, este argumento sólo funciona si la suma converge. Así que aquí es una forma barata para mostrar la convergencia. Por inducción, si $F_n\ge cn^2$$F_{n-1}\ge c(n-1)^2$, lo cual es cierto para $n\lt4$ si $c$ es lo suficientemente pequeño, entonces

$$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\ge c(n^2+(n-1)^2)=c(n^2+(n^2-2n)+1)\ge c(n^2+2n+1)=c(n+1)^2$$

desde $n^2-2n\ge2n$ si $n\ge4$. De ello se desprende que $\sum{1\over F_n}\le{1\over c}\sum{1\over n^2}$, que converge.

Answer 2

Demostrar por inducción que %#% $de #% y$$2^n\leq F_{2n}$ $

Answer 3

Sabemos que la serie de Fibonacci es muy geométrico, por lo tanto podemos sumamos las recíprocas de una serie similar como un límite superior. Recordar fórmula $$F_n=\frac {\phi^n-\psi^n}{\sqrt 5} de Binet donde $\phi=\frac 12(1+\sqrt 5)\approx 1.618, \psi=\frac 12(1-\sqrt 5)\approx -0.618$

Los tres primeros términos de la serie de Fibonacci inversa son $\frac 11+\frac 11 + \frac 12=2.5$. Después de eso tenemos $|\psi^n| \lt 0.03 \phi^n$, que $\frac 1{F_n} \lt \frac 1{0.94\phi^n}$ lo $\sum_{n=1}^\infty\frac 1{F_n}=2.5+\sum_{n=4}^\infty\frac 1 {F_n} \\ \lt 2.5 + \frac 1{0.94}\sum_{n=4}^\infty\frac {\sqrt 5} {\phi^n} \\ = 2.5 + \frac {\sqrt 5}{0.94\phi^3(\phi-1)} \lt 2.5+0.9087=3.4087\lt 4$ $

Answer 4

Otro intento: separar la serie en dos series parciales: $\small\begin{array} {r|r} 1 & 1 \\ 1/2 & 1/3 \\ 1/5 & 1/8 \\ 1/13 & 1/21 \\ 1/34 & 1/55 \\ ... & ... \\ s_1 & s_2 \end{matriz}$$cada suma$s_1,s_2$es obviamente menor que$1,1/2,1/4,1/8,...$(fácilmente demostrable considerando dos pasos en la secuencia de Fibonacci) por lo que la suma debe ser menor que$2 \times (1+1/2+1/4+...) = 4 $

Answer 5

Secuencia inversa de Fibonacci:

$$\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}\ldots$$

Principio de la serie geométrica y relación del $1$ $3/4$:

$$\frac{1}{1}, \frac{3}{4}, \frac{9}{16}, \frac{27}{64}, \frac{81}{256}, \ldots$$

En Resumen, este último produce una serie que es mayor que el anterior; por otra parte, observar que

$$\sum_{n \geq 0} \Big(\frac{3}{4}\Big)^n = 4$$

estableciendo la desigualdad deseada.

Detalles que quedan por rellenar: Mostrar que todo converge. Demostrar que el efecto de los primeros términos de la pareja no será desastroso.