Cálculo 2: Cilíndrica De Conchas

Question

He intentado esencialmente mediante la integración de la fórmula para encontrar el volumen de dos funciones diferentes, que es pi veces el de la integración de la a a la b de (R^2-r^2). En este caso he usado ((8-x^2)^2-(x^2)^2). Sin embargo, he luchado para determinar los límites de la integral, incluso a pesar de que se va a girar sobre el eje. Cualquier ayuda será muy útil, en mi búsqueda para conquistar cilíndrica de conchas. Gracias por su tiempo.

Answer 1

La fórmula para el cilíndrica conchas método (para un gráfico para girar alrededor de un eje paralelo a la $y$-eje

$$\int_a^b2\pi*R(x)*H(x)\ dx$$

donde $R$ es el radio de la cáscara cilíndrica (varía con $x$) y $H$ es la altura de la gráfica (que también varía con $x$)

Observe que la altura de la cáscara cilíndrica es $(8-x^2)-x^2$, debido a $8-x^2$ es mayor que $x^2$$1 \leq x \leq 2$.

Y girando alrededor de la $y$-eje le da un radio de $x$.

Para cilíndrico conchas, la variable de integración es siempre contrario a lo que el eje de revolución es paralelo. En este caso, el eje de revolución es el $y$-eje, por lo tanto la variable de integración es $x$.

Observe que los límites de integración son de$1$$2$.

Así que su integral debe ser

$$\int_1^2 2\pi x((8-x^2)-x^2)\ dx$$

Estoy seguro de que puedas evaluar tú mismo. :)