El movimiento browniano, la reproducción de kernel espacio de Hilbert, y el operador de Laplace

Question

Considerar el nivel de movimiento Browniano en $[0,1]$:

$$ dB_t, \; B_0 = 0, $$

definido en la probabilidad de espacio $(\Omega, P)$. Es la covarianza de la función es$K(s,t) = \min \{s , t\}$$[0,1] \times [0,1]$. El RKHS con la reproducción de kernel $K$ es el espacio de Sobolev

$$ \mathcal{H}_K = \{f \; {\tt absolutamente \; continua}, \; f(0) = 0, f'\en L^2[0,1] \} $$

con producto interior

$$ \langle f, g \rangle_{\mathcal{H}_K} = \int f'g'. $$

Esto puede observarse teniendo en cuenta que el $t \mapsto \min \{ s,t\}$ ha débil derivado $1_{[0, s]}$.

Preguntas

1. $\mathcal{H}_K$ es isomorfo al espacio de Hilbert generado por $\{ B_t\}_{t \in [0,1]}$, con isomorfismo $K_t(s) = K(t,s) \mapsto B_t \in L^2(\Omega, P)$. Así que parece que uno puede definir un punto de vista estocástico integral contra la $dB_t$ con determinista integrands. Hay un nombre para esta integral? Se parece un poco extraño cuando se compara con la integral de Ito. Por ejemplo, el incremento en el $B_{s_2} - B_{s_1}$ se identifica con

$$ \min(s_2, t) - \min(s_1, t). $$

2. Me he encontrado con la afirmación de que "(el diferencial de operador) $-\frac{d^2}{dx^2}$ es la reproducción del núcleo de $B_t$". Cómo es $-\frac{d^2}{dx^2}$ relacionado a $K$? Sujeto a las condiciones de contorno, integrando por partes se puede recuperar el producto interior en $\mathcal{H}_K$ pero no veo una identificación con el espacio de Sobolev $\mathcal{H}_K$:

$$ - \int f"g = \int f'g'. $$

3. Relacionado con 2.: el infinitesmal generador de $B_t$ como un proceso de Markov pasa a ser el Laplaciano $\frac{d^2}{dx^2}$. Es esta una relacionada con la anterior?

4. El Cameron-Martin espacio de $B_t$ también pasa a ser $\mathcal{H}_K$.

Mismos objetos, todos ellos relacionados con el movimiento Browniano $B_t$, siguen llegando a través de (aparentemente) construcciones diferentes...¿qué está pasando aquí? Es allí una manera de encajar?

Answer 1

Para #1: Vamos a llamar a su isomorfismo $T$, la isometría de $\mathcal{H}_K$ $L^2(P)$que se asigna a$K_t$$B_t$. Sí, $T$ realmente es una integral estocástica: $Tf$ es la integral de Itô, no de $f$, pero de $f'$. Así $$Tf = \int_0^1 f'(t)\,dB_t$$ o en otras palabras, para determinista $g \in L^2([0,1])$, $$\int_0^1 g(t)\,dB_t = T\left(\int_0^\cdot g(s)\,ds\right).$$ Así que este recupera la integral de Itô para determinista $L^2$ integrands. Este caso especial de la integral de Itô es a veces llamada la integral de Wiener.

Otra manera de pensar acerca de esto es que el mapa de $f \mapsto f'$ es un isomorfismo isométrico de$\mathcal{H}_K$$L^2([0,1])$. Así que si usted identificar a $\mathcal{H}_K$ $L^2([0,1])$ según este mapa, a continuación, $T$ realmente es la integral estocástica.

Voy a pensar acerca de sus otras preguntas un poco más.