Integral de Lebesgue - no dominante integrable función de $(f_n)$

Question

Deje $\lambda$ ser el Lebesgue-medida en $\Omega =[0,1]$. Dada una secuencia de no negativo funciones medibles $$f_n:\Omega\to\Bbb R: x \mapsto ne^{-nx},$$ how can I show that $f_n$ converges $\lambda$-almost everywhere to a measurable function $f$, but $$\int f d\lambda \neq \lim_{n\to\infty} \int f_nd\lambda $$

El teorema de la convergencia dominada parece fallar aquí..

Consejos para la prueba?

Edit: Ok lo que he hecho hasta ahora: $(f_n)$ converge en casi todas partes a $f(x)=0$. Obviamente $f_n(0)=n$ todos los $n \in \Bbb N_{\gt 0}$. Por lo tanto, $$\int f d\lambda =0 \neq 1 = \lim_{n\to\infty} \int f_nd\lambda$$

Ahora, ¿cómo puedo demostrar que no existe ninguna función integrable en el que domina $(f_n)$ sin la necesidad de utilizar el teorema de la convergencia dominada?

Answer 1

Para $x\in(0,1]$ hemos \begin{align} \lim_{n\to\infty} ne^{-nx}&=e^{\lim_{n\to\infty}\left(\log n-nx\right)}=0, \end{align} y para $x=0$ $$\lim_{n\to\infty}ne^{-n\cdot 0}=\infty. $$ Por lo tanto,$f_n\to 0$.e. y por lo tanto $$\int_{[0,1]}\lim_{n\to\infty} f_n\ \mathsf d\lambda=0. $$ Sin embargo, $$\int_{[0,1]}f_n\ \mathsf d\lambda = \int_0^1 ne^{-nx}\ \mathsf dx=-e^{-nx}|_0^1 =1-e^{-nx}.$$ Para $x\in(0,1]$ hemos $$\lim_{n\to\infty} (1-e^{-nx}) = 1, $$ y por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]}f_n\ \mathsf d\lambda = 1. $$