Hay espacios en los que 'tienen el mismo aspecto' en cada punto, pero no son homogéneos?

Question

Un espacio métrico es homogénea si para cualesquiera dos puntos no es una isometría que se asigna una a la otra. Es localmente homogénea si cualquiera de los dos puntos tienen isométrica de los barrios, es decir, el espacio "que tiene el mismo aspecto' cerca de ellos. Tomar abrir disco plano, es claramente localmente homogénea, pero a nivel mundial no se isometría que los mapas de su centro a cualquier otro punto. Sin embargo, el disco es incompleta cerca de la frontera, y si queremos completarlo puntos de límite ya no 'tienen el mismo aspecto" como interiores.

Puede completar conectado de Riemann colector de ser localmente homogénea pero no homogéneo? ¿Cerrado? Sospecho que sí, pero no puedo pensar en ninguna ejemplos.

En la cosmología localmente homogénea es normalmente llamado homogénea, pero me pregunto si esto está en línea con los matemáticos de uso incluso para 'bonito' espacios.

Answer 1

Cualquiera de los dos colectores de Riemann con constante de la sección transversal de la curvatura de la $C$ son localmente homogénea (en condiciones normales de coordenadas, se tiene una descripción explícita de la métrica y mediante la composición de dos normales sistemas de coordenadas alrededor de dos puntos se obtiene un local isometría). Sin embargo, dichos espacios no necesitan ser homogéneos.

Por ejemplo, considere un cerrado orientado a la superficie de la $S$ de género $g \geq 2$ con la métrica de Riemann de curvatura constante $-1$. Usted puede elegir una compatible con casi compleja estructura $J$ que va a ser un honesto estructura compleja porque estamos en el caso de dos dimensiones. La orientación de la preservación de isometrías son, en particular, de conformación de los mapas y por lo tanto son biholomorphisms de $S$, sino el resultado de Hurwitz, muestra que biholomrophism grupo de una superficie es finita y, en particular, $S$ no puede ser homogénea.