Por lo tanto, va a través de mi qual clases de preparación, hay una pregunta de dos partes: Por $p,q$ distintos de los números primos, demostrar que un grupo de orden $p^2q$ tiene un trivial normal y adecuada de los subgrupos, a continuación, probar que es solucionable. La parte 2 es bastante trivial dado que la primera, pero he estado luchando con él.
Pensamientos tan lejos: Atacar con los teoremas de Sylow, si $n_p=1$ o $n_q=1$ nos iba a hacer, así que asumir ni uno (ya sea por contradicción o para encontrar un grupo de orden $pq$, ya que les voy a mostrar después de que un grupo de este tipo tendría que ser normal)
Por tanto, y dado que necesitamos $n_p=q$ $n_q=p$ o $n_q=p^2$, pero dado que también necesitamos $n_p>p$$n_q>q$, debemos tener $p<q<p^2$, e $n_q=p^2$. También tenemos $q=pk+1$ $p^2=qj+1$ para algunos de los números naturales $k,j$ debido a la congruencia, pero yo no podía encontrar una contradicción de salir de aquí.
Ahora, desde la $p$ es el más pequeño de la prima, si pudiera encontrar un subgrupo de orden $pq$, habría índice $p$ y por lo tanto ser normal por el teorema de que los grupos de los más pequeños el primer índice de un grupo son normales. Sin embargo, me parece que no puede averiguar por qué eso habría de ser el caso, o por qué las declaraciones anteriores son una contradicción a la fuerza normal $p^2$ grupo o una normal $q$ grupo.
