No estoy seguro de que si usted todavía está buscando una aclaración sobre este tema, pero aquí es un ir.
Por simplicidad, supongamos $y=f(x)$ es derivable para todos los $x$, e $(x_0, y_0)$ es un punto de la curva definida por la ecuación. (Voy a usar $x_0$ $y_0$ en lugar de $a$$b$, para una mayor comodidad en una explicación a continuación). La derivada se define de modo que $f'(x_0)$ es la pendiente de la tangente a la curva de $y=f(x)$ en el punto de $(x_0, y_0)$. Entonces, de hecho, la ecuación punto-pendiente nos da la ecuación
$$ y - y_0 = f'(x_0)(x-x_0). $$
Nota lo que escribió no fue del todo bien: $y-b = f'(x)(x-a)$ no es cierto para todos los $x$, sólo en general, cuando se $x=a$ (por lo $y=b$ y en ambos lados se $0$). Este fue probablemente el origen de su confusión. Yo creo que lo que estaban pensando está tratando de reconstruir la curva de $y=f(x)$ desde el conocimiento de la derivada $f'(x)$, y en un punto específico de la $(a,b)$. Este es un tema importante en realidad, y es que la premisa básica detrás de antiderivatives y ecuaciones diferenciales.
Dicho de otra manera, la ecuación de la recta tangente tiene 3 componentes que dependen del punto específico: $x_0$, $y_0$ y la pendiente $f'(x_0)$ en ese punto, por lo tanto no pueden reemplazar el $f'(x_0)$ con un arbitrario $f'(x)$ para obtener la curva, pero ten $x_0$ $y_0$ fijo. (Por cierto, la curva que recibió por hacer este defecto en el procedimiento no es la tangente de la línea, ya sea porque no es lineal, no sé de que esa curva tiene mucho significado.)
Aquí hay una mejor manera de pensar acerca de tratar de reconstruir la curva de la derivada y de un punto específico. Voy a intentar explicar esto tan brevemente como pueda, pero siéntase libre de pedir una aclaración.
Vamos a trabajar con el simple ejemplo de $y=f(x) = x^2$, y el de escoger el punto de partida $(x_0, y_0) = (0, 0)$. Aquí $f'(x)= 2x$,
así en el punto de partida de la pendiente es $m_0 = f'(x_0) = 0$. Esto significa que la curva está cerca de la línea tangente $y-y_0 = m_0(x-x_0)$, es decir, $y=0$ cerca del punto de $(0,0)$. Es decir, podemos aproximar la curva cerca de $(0,0)$ geométricamente mediante la elaboración de un corto horizontal tangente a través de $(0,0)$.
Ahora podemos hacer esto de nuevo. Para simplificar, podemos decir que nos hemos aproximado de la curva con la horizontal de la recta tangente a $(x_1, y_1) = (1, 0)$ (esto no es un punto de la curva, pero en la línea tangente). Ahora podemos utilizar la derivada en 1, $f'(x_1) = f'(1) = 2$, para dibujar otro segmento de línea, decir a $(x_2,y_2) = (2,4)$, que es una aproximación de la línea tangente a $y=f(x)$$x_1$.
Esto es mucho más fácil de entender, con fotos--echa un vistazo a las fotos aquí para lo que está pasando. Sólo estoy diciendo que podemos sucesivamente el uso de derivados (tangente de pistas) para aproximar la curva. Por supuesto, mi aproximaciones en mi ejemplo es muy malo, pero se consigue mejor y mejor con pasos más pequeños (por ejemplo, $x_1 = 0.1$ o $0.00001$, e $x_2 = 2x_1$).
Para realmente recuperar la curva de $y=f(x)$ exactamente, usted necesita tomar infinitamente pequeños pasos, o más precisamente, tomar el límite de hacer este proceso con más y más pequeños pasos. Esto es precisamente lo que la antiderivada .
