Tengo un semigroup $G$ (un conjunto con una operación binaria asociativa) tal que para todos los $a,b\in G$ existe $x,y\in G$ tal que $ax=ya=b$. Es esta propiedad suficiente para demostrar que $G$ es un grupo, y si es así, ¿cómo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Sí. Este es un ejercicio estándar.
En primer lugar, vamos a $a\in G$ ser arbitraria. Entonces existe $e\in G$ tal que $ae=a$ (con la primera condición con $a=b$). Ahora vamos a $b\in G$. Entonces existe $z\in G$ tal que $za=b$. Por lo tanto, $be=(za)e=z(ae) = za = b$. Por lo tanto, $e$ es un derecho de identidad para $G$.
El hecho de que $ax=e$ siempre es solucionable, se sigue que cada elemento tiene un derecho inversa. Desde su semigroup tiene derecho a la identidad y derecho de los inversos, entonces es un grupo.