La forma decimal de $\frac{80}{81}$ es $0.987654320\ldots$ observe lo que se espera de él $1$ no está. La forma decimal de $\frac{10}{81}$ es $0.12345679\ldots$ observe lo que se espera de él $8$ no está. ¿Puede alguien ampliar por qué la forma decimal es la que es? Creo que tiene algo que ver con $(10-1)^2=81$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto se debe a que $\dfrac1{(1-x)^2} =\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n $ .
Poniendo $x=.1$ , esto es $\dfrac1{.9^2} =\dfrac1{.81} =\dfrac{100}{81} =1+2/10+3/100+4/1000 + ... $ así que $\dfrac{10}{81} =1/10+2/100+3/1000+4/10000 + ... =0.1234567... $ .
Los siguientes términos son $8/10^8+9/10^9 +10/10^{10}+... $ , pero aquí tenemos una carga (de la $10/10^{10}$ ) y estos términos tienen un valor de $9/10^8+0/10^9 +0/10^{10}+... $ que explica la $....6790...$ .
El otro es sólo $1-x$ donde $x$ es un decimal: $\dfrac{80}{81} =1-\dfrac{1}{81} $ .
