Nicolae Ciobanu cree que la única solución es un nuevo líder:

Question

Me gustaría demostrar que el único entero soluciones de $$2x^2+3y^2=z^2$$ is $(0,0,0)$.

Trabajando en $\mathbb{Z}_2$$\mathbb{Z_3}$, me han ido tan lejos como la demostración de que en $\mathbb{Z}$, cualquier número entero de que las soluciones deben tener $x,y,z$ cada ser múltiplos de 3.

Pero no estoy muy seguro de cómo entonces deducir que en $\mathbb{Z}$, por lo tanto, deben ser "cero" -los múltiplos de 3. No necesito una solución completa, pero una sugerencia o un puntero sería de gran ayuda.

Answer 1

Sugerencia:

Deje $(x_0;y_0;z_0)$ - el más pequeño de la solución. Entonces $$\left(\frac{x_0}3;\frac{y_0}3;\frac{z_0}3 \right) -$$ de la solución. Contradicción

Answer 2

Primero probar que x, y, z debe ser igual a 0 modulo 3 de hecho.

Entonces, ¿qué sucede ? $x=3x'$, $y=3y'$, $z=3z'$ con x', y', z' ser enteros. ¿Qué se puede mostrar y cómo concluir ?

SPOILER : esta es la respuesta

Si x, y, z no son (0, 0, 0) se puede dividir por 3 un número infinito de veces y no 0 enteros, lo cual es imposible

Answer 3

La PISTA.-El uso de la identidad de $(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2$ podemos poner$$\sqrt2 x=2ts\\\sqrt 3y=t^2-s^2$$ where $t$ and $s$ lo cuadrática irracional.

Por lo tanto $$ts\in \mathbb Q(\sqrt 2)\\t^2-s^2\in \mathbb Q(\sqrt 3)$$ no es difícil comprobar la imposibilidad de estas inclusiones.