¿Cuál es el valor de $\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{1}{p_{p_i}}$ donde $p_{i}$ es el $i$ ¿el primero?

Question

¿Cuál es el valor de $\sum\limits_{i=1}^\infty\dfrac{1}{p_{p_i}}$ donde $p_n$ es el enésimo primo (y por tanto $p_{p_n}$ es el $k$ primo, donde $k$ es el $n$ el primo) ?

Así, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{11}+...=$ ??

¿Cómo puedo decidir eficazmente si $\sum_{i=1}^\infty\dfrac{1}{p_{p_i}}\gt1$ ¿es cierto sin usar un ordenador?

Supongo que esta suma infinita es un número irracional. ¿Se ha demostrado ya esto?

Answer 1

Por el teorema de los números primos, $p_n\sim n\log n$ a la primera aproximación. Por lo tanto, $p_{p_n}\sim n\log^2 n$ a la primera aproximación. Dado que $$\int \frac{dx}{x\log^2 x}=\frac{1}{\log n}$$ la serie $\sum \frac{1}{p_{p_n}}$ converge.

En cuanto a la estimación de la suma: Sé que no quieres usar un ordenador, pero sólo quería señalar que he obtenido $$\sum_{n=1}^{10^{14}} \frac{1}{p_{p_n}}>1.004$$ escribiendo un pequeño programa en Sage que se ejecutaba en aproximadamente un minuto. Puedo publicar el código si la gente está interesada. Básicamente, la suma se divide en intervalos cada vez más largos y utiliza el límite superior $p_n<n(\log n + \log(\log n))$ .

Answer 2

Esto es un poco grande para un comentario, de ahí que lo publique como respuesta. Sólo para resumir todo lo que pude encontrar,

Wikipedia súper primo artículo se refiere a un resultado por Broughan y Barnett que puede utilizarse para demostrar que el conjunto de superprimas es pequeño, lo que significa que la suma de la inversa de sus elementos converge.

En Secuencia OEIS de superprimas vemos que en uno de los comentarios que

$$\sum_{n>N} \frac{1}{a_n} < \frac{1}{\log(N)}$$

donde $a_n$ es el $n$ -ésimo superprimero, junto con la nota de que esto puede ser demostrado por la prueba integral. Esto no responde directamente a tu pregunta porque, como dijo Daniel, el error es demasiado grande para estimar con precisión si la suma es mayor o menor que uno. Ese comentario sobre OEIS fue hecho por Jonathan Sondow que está bien establecido en el campo de la teoría de los números, la geometría y la topología. Tal vez quieras indagar en sus publicaciones para ver si ha tratado el tema de los superprimos en alguna parte. Si no, yo le enviaría un correo electrónico.

El valor de la suma supera por primera vez el 1 con el término 148189304, el recíproco del primo 3081648379 (73898684653).