Algunas cuestiones sobre el functor Tor como functor de dos variables relacionadas con el carácter arbitrario de la elección de resoluciones proyectivas

Question

Dado un anillo $R$ podemos considerar los siguientes funtores:

cualquier $A\in Mod-R$ y la elección de las resoluciones proyectivas $P_\bullet(B)$ por cada $B\in R-Mod$ define un functor $Tor_n^R(A,-):R-Mod\to Ab$ ,

cualquier $B\in R-Mod$ y la elección de las resoluciones proyectivas $Q_\bullet(A)$ por cada $A\in Mod-R$ define un functor $tor_n^R(-,B):Mod-R\to Ab$ .

Se sabe que $Tor_n^R(A,B)\simeq tor_n^R(A,B)$ como grupos abelianos para cada $A\in Mod-R$ , $B\in R-Mod$ .

Pregunta 1: ¿podemos definir un bifunctor $Mod-R\times R-Mod \to Ab$ que, de manera que $(A,B)\mapsto Tor_n^R(A,B)$ ?

Esta primera pregunta está relacionada con el segundo comentario que hizo darij grinberg en esta pregunta en MO .

Pregunta 2: Si $R$ es un anillo conmutativo, entonces dado un $R$ -Módulo $A$ podemos considerar $Tor_n^R(A,-), tor_n^R(-,A): R-Mod\to Ab$ . ¿Son estos funtores naturalmente isomorfos?

Creo que la respuesta a esta pregunta es sí , siempre que las opciones $Q_\bullet$ y $P_\bullet$ son los mismos. Pero, ¿y si son diferentes? Si no son necesariamente isomorfos por naturaleza, ¿hay alguna condición que garantice que así sea?

Ahora una pregunta extra. El functor Tor implica una elección arbitraria en su definición que me inquieta bastante. Formalmente, no parece estar bien definido, ya que si escribimos $Tor_n^R(A,-):R-Mod\to Ab$ No somos realmente teniendo en cuenta la elección de las resoluciones proyectivas.

Pregunta 3 (bonus): ¿Hay alguna manera de arreglar esto? ¿Se ha considerado esto en algún tratado sobre el functor Tor?

EDITAR : He eliminado la tercera pregunta porque creo que ahora entiendo cómo va: $Tor_n^R(A,-)$ (o cualquier functor derivado) se define como a functor tal que esto y aquello. Entonces demuestras que cada par de funtores que satisfacen esas condiciones son naturalmente isomorfos, así que puedes estar tranquilo de que aunque tu elección fuera un poco arbitraria, no pierdes mucho sin considerar las otras opciones de resoluciones proyectivas.

Answer 1

P1: Sí, toma resoluciones proyectivas $P^*,Q^*$ de $A,B$ respectivamente, construyen el bicomplejo tensorial $R^{*,*}$ y tomar la homología total de ese bicomplejo. Así es como se puede definir Tor como un bifunctor.

P2: Sí, y la elección de las resoluciones no importa. Puedes demostrar que la homología total del bicomplejo en Q1 es la misma que la homología de $B \otimes P^*$ es la misma que la homología de $A \otimes Q^*$ .

P3: La elección de la resolución proyectiva no importa, ya que existe una homotopía de cadena entre dos resoluciones proyectivas cualesquiera del mismo objeto. Esto se demuestra utilizando la inducción sobre la longitud de la resolución y la propiedad universal de un objeto proyectivo. Esto garantiza que cualquier resolución proyectiva produce los mismos Tor, y más generalmente que los funtores derivados a la izquierda de un functor exacto a la derecha están siempre bien definidos.

Edición: ortografía