Dado un varían suavemente $1$-parámetro de familia $\Psi[t]$ del tensor de campos, que podemos considerar como un mapa de $\Psi: J \to \Gamma(\bigotimes^l TM \otimes \bigotimes^k T^*M)$ para un intervalo de $J \ni 0$, podemos diferenciar $\Psi$ con respecto al $t$ y evaluar en $t = 0$ a producir otra índole familiar,
$$\partial_t \Psi[t] = \lim_{h \to 0} \frac{\Psi[t + h] - \Psi[t]}{h} \in \Gamma({\textstyle \bigotimes^l TM \otimes \bigotimes^k T^*M}).$$ (With respect to any local coordinates, $\Psi[t]$ has some components $\hat{\Psi}[t]^{b_1 \cdots b_l}{}_{a_1 \cdots a_k}$, and the components of $\partial_t \Psi$ are just the usual single-variable derivatives of these with respect to $t$, es decir,
$$\widehat{\partial_t \Psi[t]}^{b_1 \cdots b_l}{}_{a_1 \cdots a_k} = \partial_t \hat{\Psi}[t]^{b_1 \cdots b_l}{}_{a_1 \cdots a_k}. )$$
Ahora, podemos fácilmente calcular derivadas mayores $\partial_t^k \Psi[t]$. Entonces, como en el conocido caso de la serie de Taylor de las funciones, podemos evaluar todos estos derivados en $t = 0$ y ensamblar el resultado en un (formal) en series de Taylor de
$$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \partial^k \Psi[t] \vert_{t = 0}.$$ El (coeficiente de) los de primer orden término aquí es el tensor de campo
$$\phantom{(\ast)} \qquad \partial_t \Psi[t]\vert_{t = 0} = \left.\lim_{h \to 0} \frac{\Psi[h] - \Psi[0]}{h}\right\vert_{t = 0}. \qquad (\ast)$$
Ahora, dado un campo tensorial $\Phi \in \Gamma(\bigotimes^l TM \otimes \bigotimes^k T^*M)$ y un campo de vectores $X \in \Gamma(TM)$, el flujo de $\theta_t$ $X$ nos da (a la habitual de las cuestiones implicadas en la existencia de flujos de) a $1$-parámetro de la familia del tensor de campos $$\Phi[t] := \theta_t^* \Phi$$ with $\Phi[0] = \Phi$. Then, substituting $\Phi[t]$ into the formula $(\ast)$ para el primer orden de los coeficientes de la serie recupera la definición habitual de la Mentira derivado de un campo tensorial como reclamo.
