Análisis de la función de $y=x^{\frac{1}{x}}$

Question

La gráfica de la función $y=x^{\frac{1}{x}}$ positivos $x$ es como se muestra a continuación:

Cuando calculé $y$ para valores negativos de $x$ sólo algunos de los valores entre el $0$ $-1$ y sólo aquellos que $x$ es impar(número entero), fueron dadas por Excel, y que son:

Si la función se comporta tan bien positivos $x$, ¿por qué no tan bien para el negativo $x$?

Si $y=-x^{\frac{1}{-x}}=\frac{1}{-x^{\frac{1}{x}}}$, ¿por qué no tomar el recíproco de todos los valores de $y$ positivos $x$) y negar a la trama de la negativa del eje X?

Answer 1

El complejo de $\log$ mapa es multivalor y esto obliga a $f$ a tener varios valores de $x<0$.

$$\log(k,z)=\ln|z|+(\arg(z)+2k\pi)i,\,\,\,k\in\mathbb{Z}$$

If $z<0$, then $\arg(z)=\pi$

and therefore,

$$[z^{1/z},k]\to\exp\left(\frac{\log(k,z)}{z}\right),\,\,\,k\in\mathbb{Z}$$

consequently for negative $z$ the function is equivalent to the multivalued map:

$$[z^{1/z},k]\to\exp\left(\frac{\ln|z|+(\pi+2k\pi)i}{z}\right),\,\,\,k\in\mathbb{Z}$$

Algunos de Arce código de verificación:

 restart;
 f := proc (x) options operator, arrow; x^(1/x) end proc
 fn := proc (k, x) options operator, arrow;
 exp((ln(abs(x))+I*(Pi+2*k*Pi))/x) end proc

y ahora de verificación:

 f(-2/3); evalc(%)

(3/4*I)*sqrt(2)*sqrt(3)

 fn(0, -2/3); evalc(%) #check using principal branch of log

(3/4*I)*sqrt(6)

Answer 2

Para valores negativos de $x$, Excel, parece dar una respuesta para $x^{1/x}$ sólo cuando se sabe que el exponente $1/x$ es un número racional que puede ser escrito con un denominador impar.

Por ejemplo, $(-3)^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{-3}$.

Si es que hacer esto, entonces usted probablemente no siempre tienen una respuesta negativa. Por ejemplo, para $x = -3/2$, el que se espera obtener $1/(\sqrt[3]{-3/2})^2$, lo cual es positivo.