La expectativa de $ X(X - 1) \ldots (X - k + 1) $ donde $ X $ tiene una distribución de Poisson.

Question

Estoy tratando de calcular $$ \text{E}[X(X - 1) \ldots (X - k + 1)], $$ donde $ \text{E} $ denota la expectativa de operador y $ k \in \mathbb{N} $ es fijo.

Creo que tengo que usar el hecho de que la expectativa de una suma de variables aleatorias es la suma de las expectativas, pero ¿cómo podemos aplicar a este producto?

Answer 1

Para una distribución de Poisson

$$E[g(X)] = \sum_{j=0}^{\infty} g(j) \frac{\lambda^j}{j!} e^{-\lambda}$$

Específicamente, para el $g$ especificado, la suma comienza a $j=k$ porque $g(X) = 0$ al $X<k$:

$$\begin{align}E[g(X)] &= \sum_{j=k}^{\infty} \frac{j!}{(j-k)!} \frac{\lambda^j}{j!} e^{-\lambda}\\ &= \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^{j+k}}{j!} e^{-\lambda}\\ &= \lambda^k\\ \end{align}$$

Answer 2

Alternativamente, la probabilidad de generación de función $G$ para una variable aleatoria de Poisson con una media de $\lambda$$G(s)=E(s^X)=\exp(-\lambda(1-s))$. Diferenciar $k$ veces y establecer $s=1$ para obtener la respuesta.